אלגברה לינארית 1/מבחנים/פתרון מבחן דמה תשעא

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שאלה 1

משפט ההגדרה

שאלה 2

התרגיל בסוף מערך תרגול 7

שאלה 3

הפתרון נכון כל עוד המאפיין שונה מ-2

סעיף א

נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות.

v=w_1+w_2, נפעיל את T על שני האגפים לקבל

Tv=Tw_1+Tw_2=w_1-w_2

אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן:

w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2}


אם כן, לכל v\in V נגדיר w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2}. קל לוודא שאכן מתקיים

v=w_1+w_2,Tw_1=w_1,Tw_2=-w_2

סעיף ב

נגדיר V_1=\{w|Tw=w\},V_2=\{w|Tw=-w\}. נובע בקלות מסעיף א כי V_1+V_2=V. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי V_1\oplus V_2=V. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל.

אבל אם וקטור w נמצא בחיתוך הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל.

שאלה 4

סעיף א

הפרכה:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}

סעיף ב

נניח כי AA^t=0. נובע בקלות מהתרגיל שפתרנו במערך תרגול 2 כי A=0. כעת, נניח כי BAA^t=0 נכפול במשוחלפת של B ונקבל 0=BAA^tB^t=BA(BA)^t ואז שוב BA=0

סעיף ג

הוכחה:

נובע ממשפט המימדים כי dimV_1+dimV_2\geq 2n+1 לכן בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי dimV_1\geq n+1. באופן דומה dimV_1\geq n+1 ומכיוון ש V_1+U_1\subseteq V מתקיים לפי משפט המימדים כי dim (V_1\cap U_1)>0.

מכיוון שהסכום מכיל את כל החיתוכים האפשריים, זוג אחד מבינהם חייב להיות חיתוך לא אפס, ולכן הסכום אינו אפס.