==שאלה 2==
ראשית נוכיח כי <math>B</math> בת"ל.
נייצג את איברי <math>B</math> בתור וקטורי קוארדינטות ב <math>\mathbb{R}^4</math> לפי הבסיס הסטנדרטי ונקבל
<math>(1,1,1,1),(3,4,0,5)</math>.
נשים וקטורים אלו בשורות מטריצה ונדרג אותה כדי לוודא שהם בלתי תלויים.
<math>\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1
\\ 3 & 4 & 0 & 5
\end{bmatrix}
\overset{R_2=R_2-3R_1}
{\rightarrow}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1
\\ 0 & 1 & -3 & 2
\end{bmatrix}
</math>
הגענו לצורה מדורגת בלי שקיבלנו שורת אפסים ולכן רשימת הוקטורים שהתחלנו איתה בת"ל.
(הערה: מי שהראה שכל צירוף <math>\alpha (1+x+x^2+x^3) + \beta(3+4x+5x^3)=0</math> מחייב ש <math>\alpha=\beta=0</math>.
זאת גם תשובה טובה.
וגם מי שהראה שאין <math>\alpha</math> כך ש <math>\alpha(1+x+x^2+x^3)=3+4x+5x^3</math> זו גם תשובה נכונה).
השלמת <math>B</math> לבסיס:
הואיל ובמטריצה המדורגת שהגענו אליה יש איברים מובילים בעמודות <math>1,2</math> למדנו שאפשר להוסיף את <math>(0,0,1,0),(0,0,0,1)</math> כלומר <math>e_i</math> עבור כל עמודה <math>i</math> של משתנה חופשי.
ולכן קיבלנו בסיס <math>1+x+x^2+x^3,3+4x+5x^2,x^2,x^3</math>.
שימו לב שצריך לנמק למה מוסיפים את <math>x^2,x^3</math> - מי שסתם כתב שמוסיפים אותם בלי הסבר איבד נקודות.
הסברים מקובלים:
יש איברים מובילים בעמודות <math>1,2</math>.
יש משתנים חופשיים בעמודות <math>3,4</math>
אם מוסיפים את <math>e_3,e_4</math> המטריצה נשארת מדורגת.
אם מוסיפים את <math>e_3,e_4</math> שורות המטריצה עדיין בלתי תלויות לינארית.
או משהו בסגנון.
יש סטודנטים שהמציאו שני וקטורים כלשהם (לאו דווקא <math>x^2,x^3</math>) והראו שהקבוצה הנוצרת היא בת"ל/ פורשת ולכן לפי השלישי חינם היא בסיס.
יש סטודנטים שהמציאו שני וקטורים והוכיחו שהקבוצה הנוצרת בת"ל+ פורשת (שזה מיותר כי אפשר להשתמש בשלישי חינם)
גם התשובות האלה התקבלו, אמנם זה מייגע, אבל זה נכון.
יש סטודנטים שהשתמשו בעוד כל מיני דרכים מקוריות, חלק מהן היו נכונות.
==שאלה 3==
=חלק ב'=
נציג תשובות לפי הסדר כפי שהופיעו בגרסא הזאת של המבחן: [[מדיה:12linear1FinalExamMoedA.pdf|מבחן מועד א']].
==שאלה 1==
קל להוכיח שלמערכת <math>Ax=b</math> יש פתרון <math>\Leftrightarrow</math>
<math>b \in C(A)</math>. ולכן א' וב' הם לא התשובה.
אם <math>N(A)=C(A)</math> מתקיים גם <math>dimN(A)=dimC(A)</math> והיות ו <math>dimN(A)+dimC(A)=n</math> נקבל כי <math>n</math> חייב להיות מספר זוגי ולכן <math>|-A|=(-1)^n|A|=|A|</math>. לכן גם ד' היא טענה נכונה.
ג' שגוי. כי <math>A0=0</math> ו <math>0\in R(A)</math>.
לכן התשובה היא ג'.
==שאלה 2==
המטריצה שמייצגת את מערכת המשוואות היא
<math>
\begin{bmatrix}1 & 1 & a & | & 2 \\ -a & -2 & 1 & | & 0 \\ 1 & 1 & 2 & | & a\end{bmatrix}
\overset{R_2=R_2+aR_1}{\rightarrow}
\begin{bmatrix}1 & 1 & a & | & 2 \\ 0 & -2+a & 1+a^2 & | & 2a \\ 1 & 1 & 2 & | & a\end{bmatrix}
\overset{R_3=R_3-R_1}{\rightarrow}
\begin{bmatrix}1 & 1 & a & | & 2 \\ 0 & -2+a & 1+a^2 & | & 2a \\ 0 & 0 & 2-a & | & a-2\end{bmatrix}
</math>
קל לראות שאם <math>a\neq 2</math> יש שלושה איברים מובילים ולכן יש פתרון יחיד
נותר לראות מה קורה במקרה <math>a=2</math>, נציב <math>a=2</math> ונזכור ש <math>5=0</math>. נקבל:
<math>
\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 4 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0\end{bmatrix}
</math>
השורה השנייה היא שורת סתירה ולכן אין פתרון
לכן התשובה היא ד. אין ערך <math>a</math> עבורו למערכת יש <math>5</math> פתרונות.
==שאלה 3==
חישוב פשוט מראה ש
<math>
A^2 =
\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & -3 & 2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & -3 & 2\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{bmatrix}
</math>
ו
<math>
A^3 =
\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & -3 & 2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
</math>
ולכן התשובה הנכונה היא ב. <math>A^2 \neq 0</math> אבל <math>A^3 = 0</math>.
==שאלה 4==
התשובה היא כמובן ג', קבוצה פורשת היא מגודל של לפחות <math>dimV</math> וקבוצה בלתי תלויה לינארית היא מגודל לכל היותר <math>dimV</math>.
אם נוסיף איבר ל <math>A</math>, יתקיים ש <math>dimV<|A|</math> ולא ייתכן שהיא תהיה בת"ל.
קל גם למצוא דוגמאות נגדיות לאפשרויות האחרות.
א) ניקח <math>V=\mathbb{R}^2</math> ו <math>A=\{(1,0),(0,1)\}</math>.
ב) ניקח <math>V=\mathbb{R}^2</math> ו <math>A=\mathbb{R}^2</math>.
ד) כמו א'.
==שאלה 5==
לפי משפט המימדים
<math>dim(W_1+W_3)=dim(W_1)+dim(W_3)-dim(W_1 \cap W_3) = 2n-1</math>
לכן, שוב לפי משפט המימדים
<math>dim(W_1+W_3+W_2) = dim(W_1+W_3)+dim(W_2)-dim((W_1+W_3)\cap W_2) = 3n-1-dim((W_1+W_3)\cap W_2)</math>
כעת, היות ו <math>(W_1+W_3)\cap W_2 \subseteq W_2</math> מתקיים ש <math>0 \leq dim((W_1+W_3)\cap W_2) \leq n</math>
לכן <math>2n-1\leq dim(W_1+W_2+W_3) \leq 3n-1</math>
שזה כבר פוסל את אפשרויות א'+ב'.
כדי להיות בטוחים שהתשובה היא ג'. צריך להראות שכל אחד מהמספרים האלה אפשרי.
אם <math>v_1</math> הוא בסיס ל <math>W_1 \cap W_3</math>, אז אפשר להשלים אותו לבסיס עבור <math>W_1+W_3</math>:
<math>\{v_1,v_2, \ldots, v_{2n-1}\}</math>.
ואת הבסיס הזה אפשר להשלים לבסיס של <math>V</math> עם עוד <math>8n+1</math> וקטורים <math>\{u_1,\ldots, u_{8n+1}\}</math>.
עבור כל <math>0\leq k\leq 10</math> אפשר לבחור <math>k</math> וקטורים מתוך <math>\{u_1,\ldots, u_{8n+1}\}</math>
ועוד <math>n-k</math> וקטורים מתוך <math>\{v_1,v_2, \ldots, v_{2n-1}\}</math>.
אם נגדיר את <math>W_2</math> בתור המרחב שנפרש על ידי <math>n</math> וקטורים בלתי תלויים אלו. נקבל שהמימד של
<math>W_1+W_2+W_3</math> הוא <math>2n-1+k</math>. לכן באמת כל מספר בתחום אפשרי.
התשובה היא ג'.
==שאלה 6==
הטריק פה הוא להבין שהמטריצה <math>A</math> לא הפיכה בעוד שעבור כל בסיס <math>C</math> המטריצה <math>[I]^S_C</math> היא הפיכה.
לכן אין בסיסים <math>C</math> שיקיימו את הדרוש והתשובה היא א'.
==שאלה 7==
לפי משפט הדרגה
<math>dimKer(T)+dimIm(T)=dimV=4</math>.
מצד שני <math>Im(T)\subseteq W</math> ולכן <math>dimIm(T)\leq dimW=2</math>.
כלומר
<math>4=dimKer(T)+dimIm(T) \leq dimKer(T) +2</math> ולכן
<math>2\leq dimKer(T)</math>
בנוסף, נשים לב ש <math>T</math> היא העתקת האפס, אם ורק אם <math>dimKer(T)=4</math>, היות ונתון שהיא לא העתקת האפס
<math>dimKer(T) \leq 3</math>.
לכן קיבלנו ש <math>2\leq dimKer(T)\leq 3</math>.
לכן ג' וד' לא נכונים ונשאר להכריע בין א' לב'.
קל לראות ששתי האפשרויות <math>2,3</math> באמת אפשריות.
למשל אם <math>V=\mathbb{R}^4</math> ו <math>W=\mathbb{R}^2</math> אז אפשר לקחת
<math>T(x,y,z,w)=(x,0)</math> וכאן <math>dimKer(T)=3</math>
ואם מגדירים <math>T(x,y,z,w)=(x,y)</math> אז <math>dimKer(T)=2</math>.
לכן תשובה ב' נכונה.
==שאלה 8==
לפי משפט ההגדרה, אם <math>(1,0,0),(0,2,3),(3,2)</math> מהווים בסיס, אז קיימת העתקה יחידה עם התכונות האלה.
כדי לבדוק אם הם בסיס, נשים אותם במטריצה ונדרג (נשים לב שאנחנו עובדים ב <math>\mathbb{Z}_p</math> בלי לדעת מהו <math>p</math>)
<math>
\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}
\overset{R_3=R_3-R_2}{\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}
\overset{R_2=R_2-2R_3}{\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}
\overset{R_2\leftrightarrow R_3}{\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}
</math>
הגענו לצורה מדורגת.
ניתן לראות שאם <math>p\neq 5</math> המטריצה ללא שורת אפסים, ולכן שורותיה בת"ל- ולכן הם בסיס ויש רק העתקה אחת עם התכונות האלה.
נותר לבדוק מה קורה אם <math>p=5</math>.
נניח שיש <math>T</math> מוגדרת כנ"ל.
נשים לב ש <math>(1,1,3,4,1)=(1,1,-2,4,1)=T(0,2,3)=-T(0,-2,-3)=-T(0,3,2)=(0,-1,0,-3,0)=(0,4,0,2,0)</math>
היות ו <math>(1,1,3,4,1)\neq (0,4,0,2,0)</math> קיבלנו סתירה.
לכן התשובה היא ג'.
==שאלה 9==
היות ו <math>[I]^{B'}_{B}</math> היא מטריצה הפיכה, כמובן שג' לא נכון.
כמו כן, אם ניקח למשל <math>n=2</math>
<math>V=\mathbb{R}^2</math>
<math>B=\{(1,0),(0,1)\}</math>
ו <math>\sigma = (12)</math>
נקבל ש <math>B' = \{(0,1),(1,0)\}</math>
ולכן
<math>[I]^{B'}_{B}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0\end{bmatrix}</math>
ואז <math>|[I]^{B'}_{B}|=-1=sgn(\sigma)</math>.
לכן, גם ב' לא נכון.
נשאר להחליט אם א' נכון תמיד או שאין מספיק מידע.
נבחר <math>v_i\in B</math>.
האיבר ה <math>k</math> של <math>B'</math> הוא <math>v_{\sigma(k)}</math>.
יש <math>1\leq k \leq n</math> כך ש <math>\sigma(k)=i</math> ועבורו <math>v_{\sigma(k)}=v_i</math>.
לכן <math>[v_i]_{B'}=e_k</math> או באופן יותר ברור <math>[v_i]_{B'} = e_{\sigma^{-1}(i)}</math>.
לכן <math>C_i([I]^B_{B'})=e_{{\sigma}^{-1}(i)}</math>. (שימו לב שמדובר כאן על <math>[I]^B_{B'}</math> ולא <math>[I]^{B'}_{B}</math>.
כלומר <math>([I]^B_{B'})_{{\sigma}^{-1}(i),i}=1</math> ושאר כל האיברים הם <math>0</math>.
באופן יותר ברור אפשר לכתוב <math>([I]^B_{B'})_{i,\sigma(i)}=1</math> ושאר כל האיברים הם <math>0</math>.
(שימו לב שעבור מטריצה <math>A</math> כלשהיא ותמורה <math>\sigma \in S_n</math> מסוימת,
<math>\{A_{i,\sigma(i)} \mid i=1,\ldots ,n\} = \{A_{\sigma^{-1}(i),i} \mid i=1,\ldots ,n\}</math>)
לפי הנוסחא של דטרמיננטה
<math>|[I]^B_{B'}|=\displaystyle\sum_{\tau\in S_n}sgn(\tau){[I]^B_{B'}}_{1,\tau(1)}\cdot\ldots \cdot {[I]^B_{B'}}_{n,\tau(n)}</math>
אפשר לראות שהמכפלה מתאפסת חוץ מאשר כש <math>\tau = \sigma</math> ולכן זה שווה ל
<math>sgn(\sigma){[I]^B_{B'}}_{1,\sigma(1)}\cdot\ldots \cdot {[I]^B_{B'}}_{n,\sigma(n)}=sgn(\sigma)</math>
לכן <math>|[I]^B_{B'}|=sgn(\sigma)</math>
ולכן <math>|[I]^{B'}_B|=(|[I]^B_{B'}|)^{-1}=(sgn(\sigma))^{-1}=sgn(\sigma)</math>
לכן התשובה היא א'
==שאלה 10==
זאת שאלת מתנה.
אם <math>A\in \mathbb{F}^{5\times 5}</math> מדרגה 3, זה אומר שהיא לא הפיכה.
לכן <math>|A|=0</math>.
היות ו <math>A\cdot adj(A)= |A|I</math>
נקבל ש <math>A\cdot adj(A)=0</math>.
התשובה היא ב'.