==שאלה 6==
הטריק פה הוא להבין שהמטריצה <math>A</math> לא הפיכה בעוד שעבור כל בסיס <math>C</math> המטריצה <math>[I]^S_C</math> היא הפיכה.
לכן אין בסיסים <math>C</math> שיקיימו את הדרוש והתשובה היא א'.
==שאלה 7==
לפי משפט הדרגה
<math>dimKer(T)+dimIm(T)=dimV=4</math>.
מצד שני <math>Im(T)\subseteq W</math> ולכן <math>dimIm(T)\leq dimW=2</math>.
כלומר
<math>4=dimKer(T)+dimIm(T) \leq dimKer(T) +2</math> ולכן
<math>2\leq dimKer(T)</math>
בנוסף, נשים לב ש <math>T</math> היא העתקת האפס, אם ורק אם <math>dimKer(T)=4</math>, היות ונתון שהיא לא העתקת האפס
<math>dimKer(T) \leq 3</math>.
לכן קיבלנו ש <math>2\leq dimKer(T)\leq 3</math>.
לכן ג' וד' לא נכונים ונשאר להכריע בין א' לב'.
קל לראות ששתי האפשרויות <math>2,3</math> באמת אפשריות.
למשל אם <math>V=\mathbb{R}^4</math> ו <math>W=\mathbb{R}^2</math> אז אפשר לקחת
<math>T(x,y,z,w)=(x,0)</math> וכאן <math>dimKer(T)=3</math>
ואם מגדירים <math>T(x,y,z,w)=(x,y)</math> אז <math>dimKer(T)=2</math>.
לכן תשובה ב' נכונה.
==שאלה 8==
לפי משפט ההגדרה, אם <math>(1,0,0),(0,2,3),(3,2)</math> מהווים בסיס, אז קיימת העתקה יחידה עם התכונות האלה.
כדי לבדוק אם הם בסיס, נשים אותם במטריצה ונדרג (נשים לב שאנחנו עובדים ב <math>\mathbb{Z}_p</math> בלי לדעת מהו <math>p</math>)
<math>
\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}
\overset{R_3=R_3-R_2}{\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}
\overset{R_2=R_2-2R_3}{\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}
\overset{R_2\leftrightarrow R_3}{\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}
</math>
הגענו לצורה מדורגת.
ניתן לראות שאם <math>p\neq 5</math> המטריצה ללא שורת אפסים, ולכן שורותיה בת"ל- ולכן הם בסיס ויש רק העתקה אחת עם התכונות האלה.
נותר לבדוק מה קורה אם <math>p=5</math>.
נניח שיש <math>T</math> מוגדרת כנ"ל.
נשים לב ש <math>(1,1,3,4,1)=(1,1,-2,4,1)=T(0,2,3)=-T(0,-2,-3)=-T(0,3,2)=(0,-1,0,-3,0)=(0,4,0,2,0)</math>
היות ו <math>(1,1,3,4,1)\neq (0,4,0,2,0)</math> קיבלנו סתירה.
לכן התשובה היא ג'.
==שאלה 9==
היות ו <math>[I]^{B'}_{B}</math> היא מטריצה הפיכה, כמובן שג' לא נכון.
כמו כן, אם ניקח למשל <math>n=2</math>
<math>V=\mathbb{R}^2</math>
<math>B=\{(1,0),(0,1)\}</math>
ו <math>\sigma = (12)</math>
נקבל ש <math>B' = \{(0,1),(1,0)\}</math>
ולכן
<math>[I]^{B'}_{B}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0\end{bmatrix}</math>
ואז <math>|[I]^{B'}_{B}|=-1=sgn(\sigma)</math>.
לכן, גם ב' לא נכון.
נשאר להחליט אם א' נכון תמיד או שאין מספיק מידע.
נבחר <math>v_i\in B</math>.
האיבר ה <math>k</math> של <math>B'</math> הוא <math>v_{\sigma(k)}</math>.
יש <math>1\leq k \leq n</math> כך ש <math>\sigma(k)=i</math> ועבורו <math>v_{\sigma(k)}=v_i</math>.
לכן <math>[v_i]_{B'}=e_k</math> או באופן יותר ברור <math>[v_i]_{B'} = e_{\sigma^{-1}(i)}</math>.
לכן <math>C_i([I]^B_{B'})=e_{{\sigma}^{-1}(i)}</math>. (שימו לב שמדובר כאן על <math>[I]^B_{B'}</math> ולא <math>[I]^{B'}_{B}</math>.
כלומר <math>([I]^B_{B'})_{{\sigma}^{-1}(i),i}=1</math> ושאר כל האיברים הם <math>0</math>.
באופן יותר ברור אפשר לכתוב <math>([I]^B_{B'})_{i,\sigma(i)}=1</math> ושאר כל האיברים הם <math>0</math>.
(שימו לב שעבור מטריצה <math>A</math> כלשהיא ותמורה <math>\sigma \in S_n</math> מסוימת,
<math>\{A_{i,\sigma(i)} \mid i=1,\ldots ,n\} = \{A_{\sigma^{-1}(i),i} \mid i=1,\ldots ,n\}</math>)
לפי הנוסחא של דטרמיננטה
<math>|[I]^B_{B'}|=\displaystyle\sum_{\tau\in S_n}sgn(\tau){[I]^B_{B'}}_{1,\tau(1)}\cdot\ldots \cdot {[I]^B_{B'}}_{n,\tau(n)}</math>
אפשר לראות שהמכפלה מתאפסת חוץ מאשר כש <math>\tau = \sigma</math> ולכן זה שווה ל
<math>sgn(\sigma){[I]^B_{B'}}_{1,\sigma(1)}\cdot\ldots \cdot {[I]^B_{B'}}_{n,\sigma(n)}=sgn(\sigma)</math>
לכן <math>|[I]^B_{B'}|=sgn(\sigma)</math>
ולכן <math>|[I]^{B'}_B|=(|[I]^B_{B'}|)^{-1}=(sgn(\sigma))^{-1}=sgn(\sigma)</math>
לכן התשובה היא א'
==שאלה 10==
זאת שאלת מתנה.
אם <math>A\in \mathbb{F}^{5\times 5}</math> מדרגה 3, זה אומר שהיא לא הפיכה.
לכן <math>|A|=0</math>.
היות ו <math>A\cdot adj(A)= |A|I</math>
נקבל ש <math>A\cdot adj(A)=0</math>.
התשובה היא ב'.