====פתרון====
נניח בשלילה ש-H כן תח"נ. אזי H איחוד של מסלולים זרים (תחת פעולת ההצמדה), בפרט של <math>(1 2 3... n)</math>. ידוע ששתי תמורות צמודות אם ורק אם הן מאותו "טיפוס" בסדר מחזורים שלהן. לכן גודל מחלקת הצמידות של <math>(1 2 3... n)</math> הוא מספר המחזורים מאורך n שזה <math>(n-1)!</math>, אבל <math>(n-1)! > n</math> לכל n>3. כיוון שהסדר של H הוא n (הסדר של היוצר), נקבל ש-H מכילה קבוצה עם עוצמה יותר גדולה משל H עצמה. סתירה.
==שאלה 5==
===סעיף א'===
תהא G חבורה מסדר <math>p^2q</math> עבור p,q ראשוניים. הוכיחו ש-G אינה פשוטה.
====פתרון====
ראה שאלה 5 בתרגיל הבית האחרון.
===סעיף ב'===
הוכיחו שהמרכז של החבורה הסימטרית <math>S_n</math> עבור <math>n\geq 3</math> הוא טריוויאלי.
====פתרון====
ראה תרגול 9
===סעיף ג'===
מצאו את מספר הריבועים השונים (כלומר, עד כדי סיבוב או שיקוף) אשר מתקבלים מריבוע נתון, אם מותר לצבוע קודקודים ב-2 צבעים נתונים.
==שאלת בונוס==
תנו דוגמה של חבורה G בעלת 125 איברים כך שקיימים עבור G בדיוק 25 אוטומורפיזמיים פנימיים (לנמק).
===פתרון===
ראינו בתרגול 8 (וקל מאוד להוכיח לפי משפט איזו' 1) ש- <math>G/Z(G) \simeq Inn(G)</math> וכיוון ש- <math>|Inn(G)|=25</math>, נקבל לפי לגרנז' שצריך להתקיים <math>|Z(G)|=5</math>. לפי שאלה 4ב, אם ניקח חבורה מסדר <math>5^3</math> לא אבלית, סיימנו. ניקח את הייזנברג מעל <math>\mathbb{Z}_5</math>