ראינו כי תמונות אפימורפיות הן בעצם איזומורפיות לחבורות מנה של G, ולכן נחפש את כל חבורות המנה של G. לשם כך, קודם כל נמצא את כל תתי החבורות הנורמליות של G. כיוון ש-G ציקלית, בפרט היא אבלית, ולכן כל ת"ח היא תת חבורה נורמלית. כמו כן, לפי משפט, לכל m שמחלק את n קיימת ת"ח (והיא יחידה!) מסדר m ב- <math>\mathbb{Z}_n</math>. לכן כל התח"נ של G הן: <math>\left\{0\right\},10\mathbb{Z}_{20},5\mathbb{Z}_{20},4\mathbb{Z}_{20},2\mathbb{Z}_{20},\mathbb{Z}_{20}</math> ומכאן נחשב ונראה שחבורות המנה איזו' לקבוצות הבאות: <math>\mathbb{Z}_{20},\mathbb{Z}_{10},\mathbb{Z}_5,\mathbb{Z}_4,\mathbb{Z}_2,\left\{0\right\}</math>.
==שאלה 4==
===סעיף א'===
האם קיימת חבורה אבלית G כך ש- <math>\operatorname{exp}(G)=4,|G|=32,[G:2G]=4</math>? (הערה: 2G מוגדרת להיות <math>\left\{ g^2 | g \in G \right\}</math>)
====פתרון====
ראה תרגיל בית 5 שאלה 3 (שימוש במשפט הפיצול של חבורות אבליות)
===סעיף ב'===
תהא G חבורה לא אבלית מסדר <math>p^3</math> (p ראשוני). נניח <math>a\notin Z(G)</math> הוכיחו: <math>|Z(G)|=p,|C_a|=p^2,|conj(a)|=p</math>
====פתרון====
ראה תרגול מתאים.
===סעיף ג'===
הראו כי <math>H:= <(1 2 3... n)></math> היא לא תח"נ של <math>S_n</math> לכל <math>n>3</math>
====פתרון====
נניח בשלילה ש-H כן תח"נ. אזי H איחוד של מסלולים זרים (תחת פעולת ההצמדה), בפרט של <math>(1 2 3... n)</math>. ידוע ששתי תמורות צמודות אם ורק אם הן מאותו "טיפוס" בסדר מחזורים שלהן. לכן גודל מחלקת הצמידות של <math>(1 2 3... n)</math> הוא מספר המחזורים מאורך n שזה <math>(n-1)!</math>, אבל <math>(n-1)! > n</math> לכל n>3. כיוון שהסדר של H הוא n (הסדר של היוצר), נקבל ש-H מכילה קבוצה עם עוצמה יותר גדולה משל H עצמה. סתירה.