אלגברה מופשטת 1- מועד א' קיץ תשע"ג

שאלה 2

סעיף א'

הוכח את משפט אוילר על החזקות ופתור את המשוואה $16x\equiv 29!\cdot 25^{92} \operatorname{mod}31$

פתרון

משפט אוילר על החזקות אומר שאם $(a,n)=1$ אז $a^{\varphi(n)}\equiv 1 \operatorname{mod} n$. אבל אם $(a,n)=1$ אז לפי משפט, $a \in U_n$. אחת התוצאות של משפט לגרנז' אומרת שאם מעלים איבר בחזקת סדר של החבורה, נקבל את הנטרלי של החבורה. במקרה הזה, הנטרלי הוא 1 והסדר של החבורה הוא $|U_n|$. נזכור שההגדרה של $\varphi(n)$ היא בעצם $|U_n|$ ולכן קיבלנו $a^{\varphi(n)}\equiv 1\operatorname{mod} n$.

כעת נפתור את המשוואה. כיוון ש- 31 ראשוני, אז לפי משפט וילסון, $30!\equiv 30 \operatorname{mod}31$ וכיוון ש-30 הפיך ב- $\mathbb{Z}_{31}$ אפשר להסיק ש- $29!\equiv 1 \operatorname{mod} 31$. קיבלנו: $16x\equiv 1\cdot 25^{92} \operatorname{mod}31$.

נזכור ש- $\varphi(31)=30$ (אם p ראשוני אז $\varphi(p)=p-1$) ולכן לפי המשפט שהוכחנו, $25^{30}\equiv 1 \operatorname{mod}31$ ומכאן $25^{92}=25^{30}\cdot 25^{30}\cdot 25^{30}\cdot 25^2 \equiv 1\cdot 1\cdot 1\cdot 25^2 \operatorname{mod}31$. קל לחשב ש- $25^2\equiv 5 \operatorname{mod}31$ ולכן קיבלנו את המשוואה: $16x\equiv 5 \operatorname{mod}31$. עוד נראה ש- $2\cdot 16 \equiv 1 \operatorname{mod} 31$ ולכן $2\cdot 16x \equiv 2\cdot 5 \operatorname{mod}31$ ומכאן ש- $x\equiv 10 \operatorname{mod}31$

סעיף ב'

האם קיים מונומורפיזם $U_9 \to S_7$?

אינטואיציה ראשונית לפתרון

נשים לב ש- $|U_9|=\varphi(9)=9\cdot(1-\frac13)=6$. לכן, לפי משפט מהתרגול, יש 2 אפשרויות: $U_9 \simeq \mathbb{Z}_6$ או $U_9 \simeq D_3$. כיוון ש- $U_9$ אבלית ו- $D_3$ לא, נקבל כי $U_9$ ציקלית. לכן, צריך להתקיים שאם יש מונו' מ- $U_9$ ל- $S_7$, אזי $\operatorname{im}f$ ציקלית והסדר שלה הוא 6 (כיוון שהיא תהיה איזומורפית ל- $U_9$). לכן, מטרתנו היא למצוא איבר מסדר 6 ב- $S_7$ ולשלוח את אחד מהיוצרים של $U_9$ לאותו איבר וזה יתן לנו את הפתרון.

פתרון

נשלח את 2 (קל לראות שהוא אחד מהיוצרים של $U_9$) לתמורה $(1 2)(3 4 5)$. זוהי תמורה מסדר 6 ולכן סיימנו.

סעיך ג'

הוכיחו: בחבורת מנה $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ הסדר של כל איבר הוא סופי, אבל החבורה אינה נוצרת סופית.

פתרון

כל איבר בחבורת המנה הוא מהצורה $\frac{m}{n}+\mathbb{Z}$ ולכן נראה כי $n(\frac{m}{n}+\mathbb{Z})=m+\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ ולכן הסדר של האיבר קטן מ-n, בפרט סופי.

קל לראות ש- $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ איזומורפית לקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 (לא כולל 1). הוכחנו בתרגול ובבוחן ש-$\mathbb{Q}$ לא נוצרת סופית, נשתמש באותה הוכחה להוכיח שקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 לא נוצרת סופית