2. <math>5\text{cis}\frac{\pi}{8}</math>.
====תרגיל - הצמוד בראי ההצגה הפולרית====
נניח ש- <math>z=r\text{cis}\theta</math>. מצאו את <math>-z,\overline{z}</math> כתלות ב-<math>r,\theta</math>.
=====פתרון=====
נתחיל עם הצמוד. מה אנחנו רוצים שיתקיים? נעבור רגע להצגה הקרטזית <math>z=r\cos \theta+r\sin \theta i</math>, ולכן <math>\overline{z}=r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. הערך המוחלט לא משתנה, אנחנו רק צריכם למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות: <math>\sin(-\alpha)=-\sin \alpha,\cos(-\alpha)=\cos \alpha</math>, ולכן הבחירה <math>\varphi=-\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!
בדומה לזה נעשה עם <math>-z=-r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. כאן אנחנו צריכים למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=-\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות:
<math>\sin(180+\alpha)=-\sin \alpha,\cos(180+\alpha)=-\cos \alpha</math> (הן נובעות מהזהויות של זוית משלימה ל180 והזהויות הקודמות), ולכן הבחירה <math>\varphi=180+\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!
בסה"כ: <math>\overline{z}=r\text{cis}-\theta,-z=r\text{cis}180+\theta</math>.
===נוסחת דה-מואבר===
בהינתן שני מספרים בהצגה פולרית, <math>z_1=r_1\text{cis}\theta_1,z_2=r_2\text{cis}\theta_2</math> הכפל ביניהם הוא: <math>z_1\cdot z_2=(r_1\cdot r_2)\text{cis}(\theta_1+\theta_2)</math>. כלומר, הרדיוסים מוכפלים והזויות נסכמות. חיבור נעשה רק בצורה הקרטזית.
====תרגיל====
חשבו:
=====פתרון=====
1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות: <math>35\text{cis}105</math>.
2. עוברים לקרטזית ושם מחברים: <math>(2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1}{2}i)+(4\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2} ) +4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}i)=\sqrt{3}-2\sqrt{2}+(1+2\sqrt{2})i</math>. ===מסקנה - חישוב שורשים===
===נוסחת דה-מואבר===
מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: <math>(r\text{cis} \theta )^n=r^n\text{cis} (n\theta)</math>.
נקבל <math>r=2,\theta=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}=\frac{\pi}{12}\lor \frac{9\pi}{12}\lor \frac{17\pi}{12}</math>. נשים לב שאם ניקח <math>k=3</math> נקבל <math>\theta=\frac{25\pi}{12}=\frac{\pi}{12}+2\pi</math>, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור <math>k=0</math>.
====תרגיל - הצמוד בראי ההצגה הפולרית====
נניח ש- <math>z=r\text{cis}\theta</math>. מצאו את <math>-z,\overline{z}</math> כתלות ב-<math>r,\theta</math>.
=====פתרון=====
נתחיל עם הצמוד. מה אנחנו רוצים שיתקיים? נעבור רגע להצגה הקרטזית <math>z=r\cos \theta+r\sin \theta i</math>, ולכן <math>\overline{z}=r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. הערך המוחלט לא משתנה, אנחנו רק צריכם למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות: <math>\sin(-\alpha)=-\sin \alpha,\cos(-\alpha)=\cos \alpha</math>, ולכן הבחירה <math>\varphi=-\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!
בדומה לזה נעשה עם <math>-z=-r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. כאן אנחנו צריכים למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=-\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות:
<math>\sin(180+\alpha)=-\sin \alpha,\cos(180+\alpha)=-\cos \alpha</math> (הן נובעות מהזהויות של זוית משלימה ל180 והזהויות הקודמות), ולכן הבחירה <math>\varphi=180+\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!
בסה"כ: <math>\overline{z}=r\text{cis}-\theta,-z=r\text{cis}180+\theta</math>.
====תרגיל====