הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 3"

גרסה מ־09:42, 3 בדצמבר 2019

הגדרה של סדרה אינסופית - נסתפק בתרגול בהבנה אינטואיטיבית, פשוטו כמשמעו....

גבול של סדרה: נאמר שסדרה $\{z_n\}$ מתכנסת לגבול $z$ ונסמן $z_n\to z$ אם מתקיים $|z_n-z|\to 0$ , כאשר הדבר האחרון מוגדר כבר באינפי 1 כי זו סדרה של ממשיים.

דוגמאות

1. $z_n=1+(1+\frac{1}{n})^ni\to 1+ei$ . הוכחה: $|z_n-z|=|1+(1+\frac{1}{n})^ni-(1+ei)|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)i|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)|\cdot |i|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)|\to 0$ , כאשר השאיפה בסוף נובעת מהידוע לנו מאינפי 1.

2. $z_n=\frac{n^2+1}{2n^2+3n-2}-2i\to 0.5-2i$ בדומה...

טענות

בדומה לסדרות של ממשיים, מתקיים:

1. $z_n\to z\Rightarrow \forall c\in \mathbb{C} c\cdot z_n\to c\cdot z$

2. $z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n+w_n\to z+w$

3. $z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n\cdot w_n\to z\cdot w$

הוכחה:

1. $|cz_n-cz|=|c(z_n-z)|=|c|\cdot |z_n-z|\to 0$

2. $|(z_n+w_n)-(z+w)|=|(z_n-z)+(w_n-w)|\leq |z_n-z|+|w_n-w|\to 0$

3. $|z_n\cdot w_n-zw|=|z_n w_n-z_nw+z_nw-zw|=|z_n(w_n-w)+w(z_n-z)|\leq |z_n(w_n-w)|+|w(z_n-z)|=|Z_n|\cdot |w_n-w_+|w|\cdot |z_n-z|$

כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.

עוד ראיתם: בהינתן סדרה מרוכבת $z_n=a_n+b_ni$ מתקיים שהסדרה $z_n$ מתכנסת אם ורק אם הסדרות $a_n,b_n$ מתכנסות.

תרגילים

תרגיל

תהיינה $r_n,\theta_n$ סדרות ממשיות, ותהי $z_n=r_n\text{cis}\theta_n$ סדרה מרוכבת. הוכיחו שאם $r_n\to 0$ אז $z_n\to 0$ .

פתרון

נוכיח לפי הגדרה:

$|z_n-0|=|z_n|=r_n\to 0$ .

דוגמא

נסמן $z=\frac{2}{5}\text{cis}30$ ונתבונן בסדרה $z_n=z^n$ . האם היא מתכנסת?

כן! $z_n=(\frac{2}{5}\text{cis}30)^n$ , כין שהסדרה $r_n=(\frac{2}{5})^n\to 0$ נקבל שהסדרה כולה מתכנסת לאפס.

תרגיל

מצאו את הגבול של הסדרות הבאות:

א. $z_n=(2-\frac{1}{n})\text{cis}\frac{\pi}{3}$ .

ב. $z_n=(1+\frac{2}{n})^n-\sqrt[n]{n}i$ .

ג. $z_n=\frac{3n^3+2n^2+n}{4n^3+3n^2+2n+1}+\frac{\sin n}{n}i$ .

ד. $z=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}i$ .

תרגיל

ראיתם את המשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות. מה קורה בכיוון ההפוך? נניח שסדרת הנורמות מתכנסת, האם גם הסדרה המקורית?

פתרון

כמובן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת $z_n=(-1)^n$ .

הערה: במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: $z_n=\text{cis}n$ , כאשר מסתכלים על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי $n_1-n_2\neq 2\pi k$ כיון שההפרש שלם.

@@ שורה 34: / שורה 34: @@
 ===תרגילים===
 ====תרגיל====
-ראיתם את המשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות. מה קורה בכיוון ההפוך? נניח שסדרת הנורמות מתכנסת, האם גם הסדרה המקורית?
+תהיינה <math>r_n,\theta_n</math> סדרות ממשיות, ותהי <math>z_n=r_n\text{cis}\theta_n</math> סדרה מרוכבת. הוכיחו שאם <math>r_n\to 0</math> אז <math>z_n\to 0</math>.
 =====פתרון=====
-כמובן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת <math>z_n=(-1)^n</math>.
+נוכיח לפי הגדרה:
-====הערה====
+<math>|z_n-0|=|z_n|=r_n\to 0</math>.
-במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: <math>z_n=\text{cis}n</math>, כאשר מסתכלים על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי <math>n_1-n_2\neq 2\pi k</math> כיון שההפרש שלם.
+=====דוגמא=====
+נסמן <math>z=\frac{2}{5}\text{cis}30</math> ונתבונן בסדרה <math>z_n=z^n</math>. האם היא מתכנסת?
+כן! <math>z_n=(\frac{2}{5}\text{cis}30)^n</math>, כין שהסדרה <math>r_n=(\frac{2}{5})^n\to 0</math> נקבל שהסדרה כולה מתכנסת לאפס.
 ====תרגיל====
-הוכיחו שאם <math>z=r\text{cis}\theta,r<1</math> אז הסדרה <math>z_n=z^n\to 0</math>.
+מצאו את הגבול של הסדרות הבאות:
+א. <math>z_n=(2-\frac{1}{n})\text{cis}\frac{\pi}{3}</math>.
+ב. <math>z_n=(1+\frac{2}{n})^n-\sqrt[n]{n}i</math>.
+ג. <math>z_n=\frac{3n^3+2n^2+n}{4n^3+3n^2+2n+1}+\frac{\sin n}{n}i</math>.
+ד. <math>z=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}i</math>.
+====תרגיל====
+ראיתם את המשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות. מה קורה בכיוון ההפוך? נניח שסדרת הנורמות מתכנסת, האם גם הסדרה המקורית?
 =====פתרון=====
-נבדוק לפי הגדרה: <math>|z_n-0|=|z^n|=|z|^n=r^n\to 0</math>, כאשר המעבר האחרון מאינפי 1.
+כמובן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת <math>z_n=(-1)^n</math>.
+'''הערה:''' במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: <math>z_n=\text{cis}n</math>, כאשר מסתכלים על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי <math>n_1-n_2\neq 2\pi k</math> כיון שההפרש שלם.

הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 3"

גרסה מ־09:42, 3 בדצמבר 2019

תוכן עניינים

דוגמאות

טענות

תרגילים

תרגיל

פתרון

דוגמא

תרגיל

תרגיל

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים