הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 6"

גרסה מ־10:51, 11 בדצמבר 2018

תוכן עניינים

1 אקסופנט
- 1.1 תרגיל
  - 1.1.1 פתרון
- 1.2 תרגיל
  - 1.2.1 פתרון
2 טריגו
- 2.1 תרגיל
- 2.2 פתרון=

אקסופנט

ראינו בשבוע שעבר שהפונקציה $f(x+yi)=e^x(\cos y+i\sin y)$ גזירה ומקיימת $f'(z)=f(z)$ , וראיתם בהרצאה שהיא מקיימת את כל התכונות הנדרשות לפונקציית האקספוננט, ולכן הגדרנו: $e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$ .

לדוגמא, נחשב $e^{1+\frac{\pi}{4}i}$ :

$e^{1+\frac{\pi}{4}i}=e^1(\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{\pi}{4})=e(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\frac{e\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ .

תרגיל

כידוע, בממשיים מתקיים $e^x>0$ . מה לגבי המרוכבים? האם קיים $z\in \mathbb{C}$ כך ש $e^z$ הוא ממשי וקטן מאפס?

פתרון

כן! נתחיל מדוגמא, ואז נבין את הפתרון הכללי. נחפש $x,y\in \mathbb{R}$ כך ש $e^x(\cos y+i\sin y)=-e$ .

ראשית, כדי שהתוצאה תהיה ממשית דרוש $\sin y=0$ , ולכן $y=0+\pi k$ . כעת נקבל $\cos y\in \{-1,0,1\}$ , וכיון שאנחנו רוצים לקבל מספר שלילי נרצה $\cos y=-1$ , ולכן ניקח $y=\pi$ .

מה שקיבלנו עד כה זה $e^{x+\pi i}=-e^x$ , ולכן אם ניקח $x=\ln e=1$ נקבל $e^{1+\pi i}=-e$ כדרוש.

באופן כללי: יהי $t<0$ ממשי. נבחר $z=\ln |t|+\pi i$ ונקבל $e^z=-e^{\ln |t|}=-|t|=t$ .

תרגיל

הוכיחו שמתקיים: $e^{\overline{z}}=\overline{e^z}$

פתרון

לפי הגדרה: $e^{\overline{z}}=e^{x-yi}=e^x(\cos(-y)+i\sin(-y))=e^x(\cos y-i\sin y)=\overline{e^x(\cos y+i\sin y)}=\overline{e^z}$ .

טריגו

הגדרתם בהרצאה את הפונקציות הטריגונומטריות $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ .

לדוגמא, נחשב:

$\sin(\frac{\pi}{4}+i)=\frac{e^{i(\frac{\pi}{4}+i)}-e^{-i(\frac{\pi}{4}+i)}}{2i}=\frac{e^{-1+\frac{\pi}{4}i}-e^{1-\frac{\pi}{4}i}}{2i}=$

$=\frac{e^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)-e(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)}{2i}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}-e)+\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}+e)i}{2i}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}+e)-\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}-e)i$

תרגיל

הוכיחו: $\sin(z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w$ .

פתרון=

נפתח את צד ימין:

$\sin z\cos w+\cos z\sin w=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\cdot \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}+\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\cdot \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}=$

$=\frac{1}{4i}(e^{iz}e^{iw}+e^{iz}e^{-iw}-e^{-iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw}+e^{iz}e^{iw}-e^{iz}e^{-iw}+e^{-iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw})=\frac{1}{4i}(2e^{iz}e^{iw}-2e^{-iz}e^{-iw})=\frac{e^{i(z+w)}-e^{-i(z+w)}}{2i}=\sin (z+w)$

@@ שורה 34: / שורה 34: @@
 <math>=\frac{e^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)-e(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)}{2i}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}-e)+\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}+e)i}{2i}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}+e)-\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}-e)i</math>
+====תרגיל====
+הוכיחו: <math>\sin(z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w</math>.
+====פתרון=====
+נפתח את צד ימין:
+<math>\sin z\cos w+\cos z\sin w=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\cdot \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}+\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\cdot \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}=</math>
+<math>=\frac{1}{4i}(e^{iz}e^{iw}+e^{iz}e^{-iw}-e^{-iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw}+e^{iz}e^{iw}-e^{iz}e^{-iw}+e^{-iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw})=\frac{1}{4i}(2e^{iz}e^{iw}-2e^{-iz}e^{-iw})=\frac{e^{i(z+w)}-e^{-i(z+w)}}{2i}=\sin (z+w)</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 6"

גרסה מ־10:51, 11 בדצמבר 2018

תוכן עניינים

אקסופנט

תרגיל

פתרון

תרגיל

פתרון

טריגו

תרגיל

פתרון=

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים