חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].
== אקסופנט==
ראינו בשבוע שעבר שהפונקציה <math>f(x+yi)=e^x(\cos y+i\sin y)</math> גזירה ומקיימת <math>f'(z)=f(z)</math>, וראיתם בהרצאה שהיא מקיימת את כל התכונות הנדרשות לפונקציית האקספוננט, ולכן הגדרנו: <math>e^z=e^x(\cos y+i\sin y)</math>.
<math>=\frac{1}{4i}(e^{iz}e^{iw}+e^{iz}e^{-iw}-e^{-iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw}+e^{iz}e^{iw}-e^{iz}e^{-iw}+e^{-iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw})=\frac{1}{4i}(2e^{iz}e^{iw}-2e^{-iz}e^{-iw})=\frac{e^{i(z+w)}-e^{-i(z+w)}}{2i}=\sin (z+w)</math>
==לוגריתם==
אנחנו רוצים פונקציה הופכית לאקספוננט. הבעיה היא, שפונקציית האקספונט לא חח"ע. מה עושים? שמים לב שבתחום <math>\{z|-\pi<Im(z)\leq \pi\}</math> היא כן חח"ע, מגדירים שם את ההופכית, וקורים לה <math>\log</math>.
===הגדרה מפורשת===
<math>\log(z)=\ln |z|+iarg(z)</math>
לדוגמא: <math>\log(2\text{cis}\frac{5\pi}{4})=\ln 2+iarg(\log(2\text{cis}\frac{5\pi}{4}))=\ln 2+\frac{-3\pi}{4}i</math>.
====תרגיל====
הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z\neq 0</math> שאיננו ממשי שלילי מתקיים: <math>\log(\overline{z})=\overline{\log(z)}</math>.
=====פתרון=====
נשתמש בעובדה מהעבר: <math>arg(\overline{z}=-arg(z)</math> (אתם זוכרים שכשדיברנו על cis אמרנו שבצמוד לוקחים את מינוס הזוית? וכמובן אם הזוית המקורית נמצאת בין מינוס פאי לפאי, אז גם המינוס שלה, וכאן משתמשים בהנחה שהוא לא שלילי)
<math>\log(\overline{z})=\ln |\overline{z}|+iarg(\overline{z})=\ln |z|-iarg(z)=\overline{\ln |z|+iarg(z)}=\overline{\log(z)}</math>
==חזקות==
בממשיים מגדירים: <math>x^y=e^{y\ln x}</math>. אז נעשה זאת גם כאן: <math>z^w=e^{w\log z}</math>.
לדוגמא: <math>i^{0.5-\frac{2}{\pi}i}=e^{(0.5-\frac{2}{\pi}i)\log(i)}=e^{(0.5-\frac{2}{\pi}i)(\ln|i|+iarg(i))}=e^{(0.5-\frac{2}{\pi}i)\cdot \frac{\pi}{2}i}=e^{1+\frac{\pi}{4}i}=\frac{e\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i</math>