לדוגמא: <math>i^{0.5-\frac{2}{\pi}i}=e^{(0.5-\frac{2}{\pi}i)\log(i)}=e^{(0.5-\frac{2}{\pi}i)(\ln|i|+iarg(i))}=e^{(0.5-\frac{2}{\pi}i)\cdot \frac{\pi}{2}i}=e^{1+\frac{\pi}{4}i}=\frac{e\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i</math>
===ענפים שונים===
כאמור, ההגדרות של לוגריתם וחזקה תלויות בבחירת הענף, כלומר, טווח הזוית המגדירה מס' מרוכב. הענף הראשי הוא <math>-\pi \leq \theta \leq \pi</math>. אך ניתן לבחור גם ענפים אחרים כמו <math>0\leq \theta \leq 2\pi</math>, ולקבל הגדרה שונה ללוגריתם וחזקה.
נתבונן בענף <math>0\leq \theta \leq 2\pi</math> ונחשב את <math>L(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i),(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)^i</math>
=====פתרון=====
תחילה, נבדוק מהי הזוית (המתאימה לענף) של <math>\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}i</math>: הזוית הרגילה היא <math>-\frac{\pi}{4}</math>, שאינה בענף, ולכן נוסיף <math>2\pi</math> לקבל את הזוית <math>\frac{7\pi}{8}</math> שבענף. כעת נוכל לחשב:
<math>L(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\ln (1) +i\frac{7\pi}{8}=i\frac{7\pi}{8}</math>.
====תרגיל====
חשבו את כל החזקות <math>(1+i)^{1+i}</math>.
=====פתרון=====
ראשית נשים לב שהזוית בענף המרכזי של <math>1+i</math> היא <math>\frac{\pi}{4}</math>, ולכן בענף כלשהו <math>L</math> הזוית היא <math>\frac{\pi}{4}+2\pi k</math> עבור איזשהו <math>k\in \mathbb{Z}</math>. כעת נחשב:
<math>(1+i)^{1+i}=e^{(1+i)\cdot L(1+i)}=e^{(1+i)\cdot (\ln 2 + i(\frac{\pi}{4}+2\pi k))}=e^{\ln 2-\frac{\pi}{4}+2\pi k+(\ln 2+\frac{\pi}{4}+2\pi k)i}</math>
כעת לפי הנוסחא לחישוב אקספוננט נקבל <math>e^{\ln 2-\frac{\pi}{4}+2\pi k}cis(\ln 2+\frac{\pi}{4}+2\pi k)</math>