אנליזה מתקדמת למורים תרגול 6

חזרה ל מערכי תרגול.

אקסופנט

ראינו בשבוע שעבר שהפונקציה $f(x+yi)=e^x(\cos y+i\sin y)$ גזירה ומקיימת $f'(z)=f(z)$, וראיתם בהרצאה שהיא מקיימת את כל התכונות הנדרשות לפונקציית האקספוננט, ולכן הגדרנו: $e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$.

לדוגמא, נחשב $e^{1+\frac{\pi}{4}i}$:

$e^{1+\frac{\pi}{4}i}=e^1(\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{\pi}{4})=e(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\frac{e\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

תרגיל

כידוע, בממשיים מתקיים $e^x>0$. מה לגבי המרוכבים? האם קיים $z\in \mathbb{C}$ כך ש $e^z$ הוא ממשי וקטן מאפס?

פתרון

כן! נתחיל מדוגמא, ואז נבין את הפתרון הכללי. נחפש $x,y\in \mathbb{R}$ כך ש $e^x(\cos y+i\sin y)=-e$.

ראשית, כדי שהתוצאה תהיה ממשית דרוש $\sin y=0$, ולכן $y=0+\pi k$. כעת נקבל $\cos y\in \{-1,0,1\}$, וכיון שאנחנו רוצים לקבל מספר שלילי נרצה $\cos y=-1$, ולכן ניקח $y=\pi$.

מה שקיבלנו עד כה זה $e^{x+\pi i}=-e^x$, ולכן אם ניקח $x=\ln e=1$ נקבל $e^{1+\pi i}=-e$ כדרוש.

באופן כללי: יהי $t<0$ ממשי. נבחר $z=\ln |t|+\pi i$ ונקבל $e^z=-e^{\ln |t|}=-|t|=t$.

תרגיל

הוכיחו שמתקיים: $e^{\overline{z}}=\overline{e^z}$

פתרון

לפי הגדרה: $e^{\overline{z}}=e^{x-yi}=e^x(\cos(-y)+i\sin(-y))=e^x(\cos y-i\sin y)=\overline{e^x(\cos y+i\sin y)}=\overline{e^z}$.

טריגו

הגדרתם בהרצאה את הפונקציות הטריגונומטריות $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$.

לדוגמא, נחשב: $\sin(\frac{\pi}{4}+i)=\frac{e^{i(\frac{\pi}{4}+i)}-e^{-i(\frac{\pi}{4}+i)}}{2i}=\frac{e^{-1+\frac{\pi}{4}i}-e^{1-\frac{\pi}{4}i}}{2i}=$

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): =\frac{e^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i-e(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{sqrt{2}}{2}i}{2i}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}-e)+\frac\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}+e)i}{2i}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}+e)-\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}-e)i