שינויים

===מד"ר לינארית מסדר ראשון===מד"ר נקראת לינארית מסדר ראשון היא כזו שניתן למצוא פונקציות <math>a(x),b(x)</math> ולהביא את המשוואה לצורה: <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. היא תקרא הומוגנית אם<math>b(x)=0</math>.

המשוואה הנתונה היא כזו: <math>y'+a(x)y=0</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=0</math>. כעת נקבל שאגף שמאל הוא בעצםנשים לב להפתעה הבאה:  <math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=0</math>. כלומר, קיבלנו שהגאף שאגף שמאל הוא הנגזרת של מה שרשום בתחילת המשוואה האחרונה<math>(ye^{A(x)})'</math>, אבל אגף שמאל שווה אפס, ולכן זה הנגזרת הזו גם שווה לאפס. איך זה עוזר לנו? ניזכר שנגזרת של משהו שווה לאפס אם ורק אם הוא קבוע, ולכן קיבלנו <math>ye^{A(x)}=c</math> ומכאן למסקנה החשובה: <math>y=ce^{-A(x)}</math>. זה מה שצריך לעשות בפועל!! ====תרגיל====פתרו את המד"ר: <math>y'+\ln(x)y=0</math>. =====פתרון=====בסימונים מלמעלה נקבל <math>a(x)=\ln(x)\Rightarrow A(x)=\int \ln(x)dx=x\ln(x)-x</math>. לכן נקבל <math>y=ce^{-x\ln(x)+x}</math>. ===לא הומוגנית===האמת היא שזה אותו רעיון בדיוק. כאן המד"ר היא <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=b(x)e^{A(x)}</math>. כעת נשים לב להפתעה הבאה: <math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=b(x)e^{A(x)}</math>. כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת <math>(ye^{A(x)})'</math>, ולכן הנגזרת הזו שווה לאגף ימין. לכן <math>ye^{A(x)}=\int b(x)e^{A(x)}dx+c</math>.  ומכאן לנוסחא: <math>y=e^{-A(x)}(\int b(x)e^{A(x)}dx+c)</math>. ====תרגיל====פתרו את המד"ר הבאה: <math>y'+y=x</math>. =====פתרון=====בסימונים מלמעלה נקבל <math>a(x)=1\Rightarrow A(x)=x),b(x)=x</math>, ולכן נקבל: <math>y=e^{-x}(\int xe^xdx+c)</math>. נפתור את האינטגרל בחלקים: <math>\int xe^xdx=\{f=x,g'=e^x,f'=1,g=e^x\}=fg-\int f'g=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x=e^x(x-1)</math>. ולכן: <math>y=e^{-x}(e^x(x-1)+c)=x-1+ce^{-x}</math>. ===פתרון פרטי ותנאי התחלה===כפי ששמתם לב, הפתרון שלנו הוא כללי - לכל <math>c</math> שנציב נקבל פונקציה אחרת. לפעמים אנחנו רוצים למצוא פונקציה ספציפית. אם נדע ערך בנקודה ספציפית נוכל לדעת מהי הפונקציה הספציפית. למשל בתרגיל הקודם, אם נתון לנו ש <math>y(0)=1</math> נציב במשוואה הכללית שקיבלנו <math>x=0</math> ונקבל: <math>1=y(0)=0-1+ce^{-0}=-1+c\Rightarrow c=2</math>. כלומר <math>y=x-1+2e^{-x}</math>. ====תרגיל====פתרו את המד"ר <math>y'+\sin xy=5e^{\cos x}</math>, עם תנאי התחלה: <math>y(0)=1</math>. ====תרגיל====לפי חוק הקירור של ניוטון, קצב ההתקררות של גוף הנמצא באוויר פרופורצינאלי להפרש בין טמפרטורת החדר לטמפרטורת הגוף, ע"י קבוע הקירור של הגוף שהוא <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>. אם טמפרטורת החדר היא 30 וטמפרטורת הגוף 100, מתי תהיה טמפרטורת הגוף 40? =====פתרון=====הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: <math>T(x)</math> זו הטמפ' בזמן <math>x</math>. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל <math>T'=-\frac{1}{\sqrt{3}}(T-30)</math>. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: <math>T'+\frac{1}{\sqrt{3}}T=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולכן <math>a(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow A(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x),b(x)=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולפי הנוסחא נקבל:<math>T=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(\int 30\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}dx+c)=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(30\frac{1}{\sqrt{3}}^2e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}+c)=10+ce^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>. כעת נציב את נתוני ההתחלה: <math>T(0)=100</math>, ונקבל: <math>100=10+ce^0\Rightarrow c=90</math>. כלומר <math>T(x)=10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math> עכשיו אנחנו מחפשים את הזמן בו הטמפרטורה 40. כלומר פתרון למשוואה: <math>10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=40</math> קצת אלגברה:

מכאן למסקנה החשובה: <math>y=cee^{-A(\frac{1}{\sqrt{3}}x)}</math>. זה מה שצריך לעשות בפועל!!<math>y=e^\frac{c1}{3}\Rightarrow -A(x)\frac{1}{\sqrt{3}}x=c'e^\ln(\frac{1}{3})\Rightarrow x=-A\sqrt{3}\cdot \ln(x)\frac{1}{3})</math>.