===לא הומוגנית===
האמת היא שזה אותו רעיון בדיוק. כאן המד"ר היא <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=b(x)e^{A(x)}</math>. כעת נשים לה לב להפתעה הבאה:
<math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=b(x)e^{A(x)}</math>.
כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת <math>(ye^{A(x)})'</math>, ולכן הנגזרת הזו שווה לאגף ימין. לכן <math>ye^{A(x)}=\int b(x)e^{A(x)}dx+c</math>.
ומכאן לנוסחא: <math>y=e^{-A(x)}(\int b(x)e^{A(x)}dx+c)</math>.
=====פתרון=====
בסימונים מלמעלה נקבל <math>a(x)=1(\Rightarrow A(x)=x),b(x)=x</math>, ולכן נקבל: <math>y=e^{-x}(\int xe^xdx+c)</math>. נפתור את האינטגרל בחלקים: <math>\int xe^xdx=\{f=x,g'=e^x,f'=1,g=e^x\}=fg-\int f'g=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x=e^x(x-1)</math>. ולכן: <math>y=e^{-x}(e^x(x-1)+c)=x-1+ce^{-x}</math>.
===פתרון פרטי ותנאי התחלה===
=====פתרון=====
הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: <math>T(x)</math> זו הטמפ' בזמן <math>x</math>. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל <math>T'=-\frac{1}{\sqrt{3}}(T-30)</math>. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: <math>T'+\frac{1}{\sqrt{3}}T=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולכן <math>a(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}(\Rightarrow A(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x),b(x)=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולפי הנוסחא נקבל:
<math>T=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(\int 30\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}dx+c)=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(30\frac{1}{\sqrt{3}}^2e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}+c)=10+ce^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>.