שינויים

*נסמן את מקדמי הפורייה של <math>f</math> ב<math>a_n,b_n</math>*נחשב את מקדמי פורייה הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב<math>\alpha_n,\beta_n</math>:

:<math>a_0\alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= f(\pi)-f(-\pi)</math>

:<math>a_n\alpha_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\cos(nx)dx = \frac{-n}{\pi}\left[f(x)\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi+\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = n\cdot b_n</math>  :<math>\beta_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\sin(nx)dx = \frac{n}{\pi}\left[f(x)\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi -\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = \frac{n(-1)^n(f(\pi)-f(-\pi))}{\pi} -n\cdot a_n</math>  *כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו::<math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>*אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו::<math>f'(x)=\frac{f(\pi)-f(-\pi)}{2}+\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)+\left(\frac{n(-1)^n(f(\pi)-f(-\pi))}{\pi} -n\cdot a_n\right)\sin(nx)</math>*(שימו לב שהטורים שווים לפונקציות בקטע הפתוח <math>(-\pi,\pi)</math>, כיוון שההמשך המחזורי שלהן רציף שם ולא בהכרח בקצוות.)  *במקרה המיוחד בו <math>f(-\pi)=f(\pi)</math> אנו מקבלים את הביטוי הפשוט::<math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)-na_n\sin(nx)</math>  ====דוגמאות====