הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "=מבחנים לדוגמא= =תקציר ההרצאות= ==הקדמה== ==טורי פורייה==") |
(←הקדמה) |
||
| שורה 4: | שורה 4: | ||
==הקדמה== | ==הקדמה== | ||
| + | ===גלים=== | ||
| + | *מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית. | ||
| + | *לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות: | ||
| + | **תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור) | ||
| + | **אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום) | ||
| + | **פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור). | ||
| + | *אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים. | ||
| + | |||
| + | *מדוע דווקא סינוס וקוסינוס? | ||
| + | *למדנו במד"ר על המשוואה <math>y''=-k^2y</math> שהפתרון הכללי שלה הוא <math>y=a\sin(kt)+b\cos(kt)</math>. | ||
| + | *הקבוע <math>k</math> קובע את התדר של כל גל. | ||
| + | *הקבועים <math>a,b</math> קובעים את האמפליטודה של כל גל. | ||
| + | *מה לגבי הפאזה? | ||
| + | **בפונקציה <math>a\sin(kt+t_0)</math>, הקבוע <math>t_0</math> קובע את הפאזה. | ||
| + | **ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה: | ||
| + | ***<math>a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)</math> | ||
| + | |||
| + | *האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי <math>a\sin(kt)+b\cos(kt)</math> ניתן להציג כגל יחיד? | ||
| + | *תשובה: כן. | ||
| + | *הוכחה: | ||
| + | **נסמן <math>z=a+bi=rcis(\theta)</math> | ||
| + | **כלומר <math>a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta)</math> | ||
| + | *שימו לב: | ||
| + | **סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש. | ||
| + | **הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים. | ||
| + | **לגל החדש יש פאזה שאינה אפס. | ||
| + | **האפליטודה של הגל החדש היא <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>. | ||
==טורי פורייה== | ==טורי פורייה== | ||
גרסה מ־08:05, 19 בפברואר 2019
תוכן עניינים
מבחנים לדוגמא
תקציר ההרצאות
הקדמה
גלים
- מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
- לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
- תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
- אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
- פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
- אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.
- מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
- למדנו במד"ר על המשוואה
שהפתרון הכללי שלה הוא 
. - הקבוע
קובע את התדר של כל גל. - הקבועים
קובעים את האמפליטודה של כל גל. - מה לגבי הפאזה?
- בפונקציה
, הקבוע 
קובע את הפאזה. - ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
- בפונקציה
- האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי
ניתן להציג כגל יחיד? - תשובה: כן.
- הוכחה:
- נסמן
- כלומר
- נסמן
- שימו לב:
- סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
- הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
- לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
- האפליטודה של הגל החדש היא
.
