*נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב<math>\alpha_n,\beta_n</math>:
:<math>\alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= \frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}</math>
*שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ בהנחה שהנגזרת רציפה. אם הנגזרתרציפה למקוטעין זה קצת יותר מורכב.
:<math>\alpha_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\cos(nx)dx = \frac{-n1}{\pi}\left[f(x)\sincos(nx)\right]_{-\pi}^\pi +\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = \frac{(-1)^n\left(f(\pi)-f(-\pi)\right)}{\pi}+n\cdot b_n</math>
:<math>\beta_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\sin(nx)dx = \frac{n1}{\pi}\left[f(x)\cossin(nx)\right]_{-\pi}^\pi -\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = \frac{n(-1)^n(f(\pi)-f(-\pi))}{\pi} -n\cdot a_n</math>
:<math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
*אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו:
:<math>f'(x)=\frac{f(\pi)-f(-\pi)}{2\pi}+\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)+\left(\frac{n(-1)^n\left(f(\pi)-f(-\pi)\right)}{\pi} +nb_n\right)\cos(nx)-n\cdot a_n\right)\sin(nx)</math>
*(שימו לב שהטורים שווים לפונקציות בקטע הפתוח <math>(-\pi,\pi)</math>, כיוון שההמשך המחזורי שלהן רציף שם ולא בהכרח בקצוות.)
*נזכר בטור הפורייה של <math>x^2</math>:
:<math>\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>
*נרצה למצוא את מקדמי הפוריה של <math>\frac{x^3}{3}</math>, נסמנם ב<math>a_n,b_n</math>. *לכל <math>1\leq n</math> נקבל כי::<math>\frac{2(-1)^n\pi^3}{3\pi}+nb_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}</math>:<math>-na_n = 0</math>*כמו כן נחשב את המקדם הראשון::<math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{x^3}{3}dx = 0</math> *נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של <math>\frac{x^3}{3}</math> הוא::<math>\frac{x^3}{3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n}{n^3}\left(2-\frac{\pi^2 n^2}{3}\right)\sin(nx)</math>