====טור פורייה המרוכב====
*לא קשה לוודא כי <math>\{\frac{e^{inx}}{\sqrt{2}}\}_{n\in\mathbb{Z}}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית בE.
*תהי <math>f\in E</math>, שאלה שעולה באופן טבעי היא האם:
:<math>f=\sum_{n=-\infty}^\infty \langle f,\frac{e^{inx}}{\sqrt{2}}\rangle \frac{e^{inx}}{\sqrt{2}}</math>
*כאשר אנו מגדירים את הסכום ממינוס אינסוף עד אינסוף באופן הבא:
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty u_n = u_0+\sum_{n=1}^\infty (u_n+u_{-n}) </math>
*נסמן את מקדמי פורייה הרגילים ב<math>a_n,b_n</math>.
*נשים לב כי עבור <math>n=0</math> נקבל:
:<math>\frac{1}{2}\langle f,1\rangle = \frac{a_0}{2}</math>
*כעת עבור <math>n>0</math> מתקיים:
:<math>\frac{1}{2}[\langle f, e^{inx}\rangle e^{inx}+\langle f, e^{-inx}\rangle e^{-inx}] =</math>
:<math>= \frac{1}{2}[(\langle f, e^{inx}\rangle+\langle f, e^{-inx}\rangle)\cos(nx) + (\langle f, e^{inx}\rangle-\langle f, e^{-inx}\rangle)i\sin(nx)]=</math>
:<math>= \lange f, \cos(nx)\rangle \cos(nx) + \lange f, i\sin(nx)\rangle i\sin(nx)= </math>
:<math>=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
*(שימו לב: הi יצא מהצד הימני של המכפלה הפנימית עם מינוס)
*כלומר, טור פורייה המרוכב הוא בדיוק טור פורייה הרגיל!
==הרצאה 7==