====הסכומים החלקיים של טור פוריה====
*תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה <math>f</math> שהיא מחזורית <math>2\pi</math>:
:<math>S_n = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)</math>
*נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי:
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2}f(t)dt + \sum_{k=1}^n \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)dt\right]\cos(kx)+\left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)dt\right]\sin(kx)=</math>
:<math>= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}f(t)+\sum_{k=1}^n f(t)\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt=</math>
:<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(k(x-t-x))\right]dt</math>
*זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי:
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t-x)dt</math>
*שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה.
*טענה:תהי <math>f</math> פונקציה מחזורית <math>2\pi</math>. אזי לכל <math>a\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי::<math>\int_{-\pi}^\pi f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx</math>*כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך <math>2\pi</math>.**הוכחה:::<math>\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx</math>::נבצע הצבה <math>t=x-2\pi</math> באינטגרל השני ונקבל:::<math>\int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx = \{t=x-2\pi, dt=dx\} = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t+2\pi)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx</math>::ביחד נקבל כי:::<math>\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx=\int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx = \int_{-\pi}^\pi f(x)dx</math> *נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה::<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du</math>:כיוון שגרעין דיריכלה ו<math>f</math> הן מחזוריות, נקבל::<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt</math>
==הרצאה 3 התכנסות נקודתית של טורי פוריה==