אנליזת פורייה - ארז שיינר

תקציר ההרצאות

• ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס.

הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה

הקדמה - גלים

• מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
• לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
  • תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
  • אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
  • פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
• אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.

• מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
• למדנו במד"ר על המשוואה $y''=-k^2y$ המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
• זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
• הפתרון הכללי למד"ר הוא $y=a\sin(kt)+b\cos(kt)$.
• הקבוע $k$ קובע את התדר של כל גל.
• הקבועים $a,b$ קובעים את האמפליטודה של כל גל.
• מה לגבי הפאזה?
  • בפונקציה $a\sin(kt+t_0)$, הקבוע $t_0$ קובע את הפאזה.
  • ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
    • $a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)$

• האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי $a\sin(kt)+b\cos(kt)$ ניתן להציג כגל יחיד?
• תשובה: כן.
• הוכחה:
  • נסמן $z=a+bi=rcis(\theta)$
  • כלומר $a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta)$
• שימו לב:
  • סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
  • הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
  • לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
  • האפליטודה של הגל החדש היא $r=\sqrt{a^2+b^2}$.

• האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
• בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
• האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
• למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
• במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.

טורי פורייה ומקדמי פוריה

• טור פורייה הוא טור מהצורה $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$

• אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים $a_n,b_n$?

חישובים להקדמה

• ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
  • $\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]$
  • $\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]$
• כעת, לכל $0\neq n\in\mathbb{N}$ נקבל:
  • $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1$
• עבור $n\neq k \in \mathbb{N}$ נקבל:
  • $\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$
  • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש$n-k,n+k\neq 0$.
• באופן דומה, לכל $0\neq n\in\mathbb{N}$ נקבל:
  • $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1$
• עבור $n\neq k \in \mathbb{N}$ נקבל:
  • $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$
  • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש$n-k,n+k\neq 0$.
• עבור $n,k\in \mathbb{N}$ נקבל:
  • $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0$ כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
• ולבסוף, עבור $n=0$ נקבל
  • $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2$
• שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.

• הערה חשובה:
  • למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה $\{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}$ מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית $\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx$

מקדמי הטור

• כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
• $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx=$
• $=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx=$
• כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
• $=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right]$
• לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
• $a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx$
• שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור $k=0$.
• באופן דומה נקבל כי $b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx$

• הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
• השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
• באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור $2\pi$.
• לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
  • תהי פונקציה $f$, נגדיר את ההמשך המחזורי שלה $g$ על ידי:
  • לכל $k\in\mathbb{Z}$ ולכל $x\in [-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k)$ נגדיר $g(x)=f(x-2\pi k)$.
  • ברור ש $g(x+2\pi) = g(x)$, כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
  • ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת $g(x)=f(x-2\pi\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\rfloor)$

• לדוגמא, ההמשך המחזורי של $x^2$:

דוגמא

• נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של $x^2$
• שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.

$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0$.

• שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.

$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx= \frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3}$

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx =\left\{\begin{array}{lr}f'=\cos(nx) & g=x^2\\ f= \frac{\sin(nx)}{n} & g'=2x\end{array}\right\}=$

$=\frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx = - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx= \left\{\begin{array}{lr}f'=\sin(nx) & g=x\\ f= -\frac{\cos(nx)}{n} & g'=1\end{array}\right\}=$

$- \frac{4}{n\pi}\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi + \frac{4}{n^2\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx=\frac{4\pi\cos(\pi n)}{n^2\pi}+\frac{4}{n^3\pi}\left[sin(nx)\right]_0^\pi = \frac{4(-1)^n}{n^2}$

• שימו לב כי לכל $n\in\mathbb{N}$ מתקיים כי $cos(n\pi)=(-1)^n$

• סה"כ אם ההמשך המחזורי של $x^2$ שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:

$\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)$

• נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב $\pi$.
• $\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2}$
• ונקבל את הסכום המפורסם

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה

מרחבי מכפלה פנימית שאינם ממימד סופי והיטלים

• פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע סופי אם:
  • 1. היא רציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות.
  • 2. הגבולות החד צדדיים הרלוונטיים בכל נקודה הם סופיים.
• למעשה נקודות אי הרציפות היחידות של פונקציה רציפה למקוטעין הן ממין ראשון (קפיצתיות).
• פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע כללי, אם ניתן לחלק אותו לקטעים סופיים בהן הפונקציה רציפה למקוטעין.

• E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין $f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C}$ מעל השדה $\mathbb{C}$, המקיימות בנוסף שבכל נקודה ערך הפונקציה שווה לממוצע בין הגבולות החד צדדיים שלה, ובקצוות ערך הנקודה שווה לגבול החד צדדי המוגדר.
  • לא קשה להוכיח שאכן מדובר במרחב וקטורי. בעיקר יש לשים לב לכך שסכום פונקציות בקבוצה נשאר בקבוצה.
• $\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx$ היא מכפלה פנימית מעל E.
  • $\langle g,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\overline{f(x)}dx = \overline{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx} = \overline{\langle f,g\rangle}$
  • $\langle af+bg,h\rangle = a\langle f,h\rangle + b\langle g,h\rangle$
  • $\langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{f(x)}dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2dx$
    • בכל קטע רציפות האינטגרל על פונקציה חיובית הוא אפס אם ורק אם היא אפס.
    • כיוון שהפונקציה בכל נקודה שווה לאחד הגבולות החד צדדיים או לממוצע בניהם, נובע שאם האינטגרל לעיל מתאפס הפונקציה חייבת להתאפס לחלוטין.
• נביט בנורמה המושרית $||f||^2=\langle f,f\rangle$

• כעת נוכיח מספר תכונות של היטלים במרחבי מכפלה פנימית.
• יש לנקוט בזהירות מיוחדת בנושא זה, כיוון שאנו עוסקים במרחבים שאינם נוצרים סופית (אין להם בסיס סופי או מימד).
• ייתכן שהוכחתם חלק מהמשפטים הבאים רק עבור מרחבים נוצרים סופית.

• תהי קבוצה אורתונורמלית סופית $\{e_1,...,e_n\}$, ונקרא למרחב שהיא פורשת W.
• לכל וקטור $v\in V$ נגדיר את ההיטל של $v$ על W על ידי $\widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i$
• נוכיח מספר תכונות לגבי ההיטל הזה:

• מתקיים כי $\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle=\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2$
  • הוכחה:
  • $\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle v,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\langle v,e_i\rangle}\langle v,e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2$
  • $\langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle = \langle \sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2$
  • המעבר האחרון נכון כיוון ש $\{e_1,...,e_n\}$ אורתונורמלית.

• מתקיים כי $||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2$
  • הוכחה:
  • $\langle v-\widetilde{v},v-\widetilde{v}\rangle = \langle v,v\rangle - \langle v,\widetilde{v}\rangle - \langle \widetilde{v},v\rangle + \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle$
  • נזכור כי $\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle$.
  • לכן קיבלנו כי $||v-\widetilde{v}||^2 = ||v||^2 - ||\widetilde{v}||^2$

• מסקנה מיידית: $||\widetilde{v}||\leq ||v||$

אי שיוויון בסל

• כעת תהי קבוצה אורתונורמלית אינסופית $\{e_1,e_2,...\}$.
• לכל $v\in V$ מתקיים כי $\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2$
  • הוכחה:
  • ראינו שלכל n מתקיים כי $\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2$.
  • כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה על ידי $||v||^2$ ולכן הטור מתכנס למספר שקטן או שווה לו.

• בפרט נובע כי

$\lim_{n\to\infty}|\langle v,e_i\rangle|=0$

למת רימן לבג

• ראינו כי $\{\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),...\}$ היא קבוצה אורתונורמלית ב$E$ (כרגע אנו לא צריכים את הפונקציה הקבועה).
• כמו כן לכל פונקציה f הגדרנו מקדמי פורייה ע"י:
• לכל $1\leq n\in \mathbb{N}$ הגדרנו $a_n=\langle f,\cos(nx)\rangle$, ו$b_n=\langle f,\sin(nx)\rangle$

• נובע מאי שיוויון בסל כי המקדמים שואפים לאפס.
• כלומר:

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = 0$

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = 0$

• למת רימן-לבג: תהי $g$ רציפה למקוטעין בקטע $[0,\pi]$, אזי:

$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = 0$

• הוכחה:
  • $\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{0}^\pi g(t)\cos(\frac{t}{2})\sin(nt) dt+\int_{0}^\pi g(t)\sin(\frac{t}{2})\cos(nt) dt$
  • נגדיר את שתי הפונקציות $h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}$ ו $h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}$
  • קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין, כלומר $h_c,h_s\in E$.
  • ביחד נקבל כי $\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)sin(nt)dt \to 0$

גרעין דיריכלה

• גרעין דיריכלה הוא הפונקציה $D_n(x)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}$

• טענה: $D_n(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(kt)$ בכל נקודה $t\neq 2\pi k$
  • הוכחה:
  • נכפל ב$2\sin(\frac{t}{2})$ ונקבל בצד שמאל:
  • $\sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(t) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(2t)+...+2\sin(\frac{t}{2})\cos(nt)$
  • נבחין בזהות הטריגונומטרית $2\sin(a)\cos(b) = \sin(b+a)-\sin(b-a)$
  • ובפרט $2\sin(\frac{t}{2})\cos(kt) = \sin(kt+\frac{t}{2}) - \sin(kt-\frac{t}{2})$
  • ביחד נקבל $\sin(\frac{t}{2}) + \sin(t+\frac{t}{2})-\sin(t-\frac{t}{2}) + \sin(2t+\frac{t}{2}) - \sin(2t-\frac{t}{2})+...+\sin(nt+\frac{t}{2}) - \sin(nt-\frac{t}{2}) = \sin(nt+\frac{t}{2}) = \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)$

• נשים לב כי הפונקציה $2\sin(\frac{t}{2})$ מתאפסת בנקודות $t=2\pi k$, בנקודות אלו לגרעין דיריכלה יש אי רציפות סליקה.
• זה נכון כיוון שפרט לנקודות אלו מדובר בפונקציה רציפה.
• כמו כן, גרעין דיריכלה מחזורי $2\pi$ כיוון שהוא סכום של פונקציות מחזוריות $2\pi$.

• נחשב את האינטגרל על גרעין דיריכלה:
• ראשית, לכל $1\leq k \in \mathbb{N}$ מתקיים:

$\int_0^\pi \cos(kt)dt = \left[\frac{\sin(kt)}{k}\right]_0^\pi = 0$

• לכן נקבל:

$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi D_n(t)dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[\frac{1}{2} + \cos(t) + \cos(2t)+...+\cos(nt)\right]dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}$

הסכומים החלקיים של טור פוריה

• תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה $f$ שהיא מחזורית $2\pi$:

$S_n = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)$

• נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי:

$S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2}f(t)dt + \sum_{k=1}^n \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)dt\right]\cos(kx)+\left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)dt\right]\sin(kx)=$

$= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}f(t)+\sum_{k=1}^n f(t)\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt=$

$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(k(t-x))\right]dt$

• זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי:

$S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt$

• שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה.

• טענה: תהי $f$ פונקציה מחזורית $2\pi$. אזי לכל $a\in\mathbb{R}$ מתקיים כי:

$\int_{-\pi}^\pi f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx$

• כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך $2\pi$.
  • הוכחה:

$\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx$

נבצע הצבה $t=x-2\pi$ באינטגרל השני ונקבל:

$\int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx = \{t=x-2\pi, dt=dx\} = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t+2\pi)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx$

ביחד נקבל כי:

$\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx=\int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx = \int_{-\pi}^\pi f(x)dx$

• נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה:

$S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du$

כיוון שגרעין דיריכלה ו$f$ הן מחזוריות, נקבל:

$S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt$

הרצאה 3 התכנסות נקודתית של טורי פוריה

סימונים והגדרות

• נסמן את הגבול החד צדדי מימין ב$f(d^+)=\lim_{x\to d^+}f(x)$.
• נסמן את הגבול החד צדדי משמאל ב$f(d^-)=\lim_{x\to d^-}f(x)$.
• שימו לב: אם הפונקציה רציפה למקוטעין, הערכים הללו תמיד מוגדרים.

• נגדיר את הנגזרת הימנית ע"י $f'(x^+) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t)-f(x^+)}{t}$.
• נגדיר את הנגזרת השמאלית ע"י $f'(x^-) = \lim_{t\to 0^-}\frac{f(x+t)-f(x^-)}{t}$.
• שימו לב: ייתכן ש$f'(d^+)=f'(d^-)$ אך הפונקציה אינה גזירה בd. זה יקרה אם היא לא רציפה בנקודה.

דוגמא:

• נביט בפונקציה $f(x)=\frac{x}{|x|}$
• מתקיים כי $f(0^+)=1$, ו$f(0^-)=-1$.
• כמו כן מתקיים כי $f'(0^+)=f'(0^-)=0$.

כמובן שהפונקציה אינה רציפה ואינה גזירה ב0.

משפט דיריכלה - התכנסות נקודתית של טור פוריה

• תהי $f$ פונקציה מחזורית $2\pi$, רציפה למקוטעין כך שבכל נקודה הנגזרות החד צדדיות שלה קיימות וסופיות.
• אזי לכל $x\in\mathbb{R}$ הטור עם מקדמי הפוריה של $f$ מתכנס:

$\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)$

• בפרט, בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור הפוריה מתכנס נקודתית לפונקציה, ובכל נקודה בה יש אי רציפות קפיצתית טור הפוריה מתכנס לממוצע הגבולות מימין ומשמאל.

הוכחה

• תהי נקודה $x\in\mathbb{R}$.
• נביט בפונקציה $g(t) = \frac{f(x+t) - f(x^+)}{2\sin(\frac{t}{2})}$
• $\lim_{t\to 0^+}g(t) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t) - f(x^+)}{t}\frac{\frac{t}{2}}{\sin(\frac{t}{2})} = f'(x^+)\cdot 1$
• כיוון שהנגזרות החד צדדיות קיימות וסופיות, קיבלנו ש$g(t)$ רציפה למקוטעין בקטע $[0,\pi]$.
• לפי למת רימן-לבג נובע כי:

$\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt=0$

• כלומר:

$0=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]D_n(t)dt$

• כיוון ש

$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x^+)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2}$

• נובע כי:

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2}$

• באופן דומה לחלוטין ניתן להוכיח כי:

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)}{2}$

• ולכן סה"כ נקבל כי:

$\lim_{n\to\infty} S_n(x)= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$