אנליזת פורייה - ארז שיינר

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־07:25, 23 במאי 2019 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (הרצאה 8 - התמרה הפוכה)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

מבחנים לדוגמא

תקציר ההרצאות

הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה

הקדמה - גלים

  • מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
  • לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
    • תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
    • אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
    • פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
  • אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.


  • מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
  • למדנו במד"ר על המשוואה y''=-k^2y המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
  • זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
  • הפתרון הכללי למד"ר הוא y=a\sin(kt)+b\cos(kt).
  • הקבוע k קובע את התדר של כל גל.
  • הקבועים a,b קובעים את האמפליטודה של כל גל.
  • מה לגבי הפאזה?
    • בפונקציה a\sin(kt+t_0), הקבוע t_0 קובע את הפאזה.
    • ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
      • a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)


  • האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי a\sin(kt)+b\cos(kt) ניתן להציג כגל יחיד?
  • תשובה: כן.
  • הוכחה:
    • נסמן z=a+bi=rcis(\theta)
    • כלומר a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta)
  • שימו לב:
    • סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
    • הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
    • לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
    • האפליטודה של הגל החדש היא r=\sqrt{a^2+b^2}.


  • האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
  • בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
  • האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
  • למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
  • במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.


טורי פורייה ומקדמי פוריה

  • טור פורייה הוא טור מהצורה f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]


  • אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים a_n,b_n?


חישובים להקדמה

  • ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
    • \sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]
    • \cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]
  • כעת, לכל 0\neq n\in\mathbb{N} נקבל:
    • \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx =  \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1
  • עבור n\neq k \in \mathbb{N} נקבל:
    • \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0
    • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה שn-k,n+k\neq 0.
  • באופן דומה, לכל 0\neq n\in\mathbb{N} נקבל:
    • \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx =  \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1
  • עבור n\neq k \in \mathbb{N} נקבל:
    • \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0
    • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה שn-k,n+k\neq 0.
  • עבור n,k\in \mathbb{N} נקבל:
    • \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0 כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
  • ולבסוף, עבור n=0 נקבל
    • \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2
  • שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.


  • הערה חשובה:
    • למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה \{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\} מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית \langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx

מקדמי הטור

  • כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
  • \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx=
  • =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx=
  • כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
  • =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right]
  • לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
  • a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx
  • שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור k=0.
  • באופן דומה נקבל כי b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx


  • הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
  • השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
  • באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור 2\pi.
  • לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
    • תהי פונקציה f, נגדיר את ההמשך המחזורי שלה g על ידי:
    • לכל k\in\mathbb{Z} ולכל x\in [-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k) נגדיר g(x)=f(x-2\pi k).
    • ברור ש g(x+2\pi) = g(x), כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
    • ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת g(x)=f(x-2\pi\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\rfloor)


  • לדוגמא, ההמשך המחזורי של x^2:
X^2 fourier.png


דוגמא
  • נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של x^2
  • שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.


b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0.
  • שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.


a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx= \frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3}


a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx =\left\{\begin{array}{lr}f'=\cos(nx) & g=x^2\\ f= \frac{\sin(nx)}{n} & g'=2x\end{array}\right\}=
=\frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx = - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx=
\left\{\begin{array}{lr}f'=\sin(nx) & g=x\\ f= -\frac{\cos(nx)}{n} & g'=1\end{array}\right\}=
- \frac{4}{n\pi}\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi  + \frac{4}{n^2\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx=\frac{4\pi\cos(\pi n)}{n^2\pi}+\frac{4}{n^3\pi}\left[sin(nx)\right]_0^\pi = \frac{4(-1)^n}{n^2}


  • שימו לב כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים כי cos(n\pi)=(-1)^n


  • סה"כ אם ההמשך המחזורי של x^2 שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:
\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)


  • נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב \pi.
  • \pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2}
  • ונקבל את הסכום המפורסם
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}


הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה

מרחבי מכפלה פנימית שאינם ממימד סופי והיטלים

  • פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע סופי אם:
    • 1. היא רציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות.
    • 2. הגבולות החד צדדיים הרלוונטיים בכל נקודה הם סופיים.
  • למעשה נקודות אי הרציפות היחידות של פונקציה רציפה למקוטעין הן ממין ראשון (קפיצתיות).
  • פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע כללי, אם ניתן לחלק אותו לקטעים סופיים בהן הפונקציה רציפה למקוטעין.


  • E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C} מעל השדה \mathbb{C}, המקיימות בנוסף שבכל נקודה ערך הפונקציה שווה לממוצע בין הגבולות החד צדדיים שלה, ובקצוות ערך הנקודה שווה לגבול החד צדדי המוגדר.
    • לא קשה להוכיח שאכן מדובר במרחב וקטורי. בעיקר יש לשים לב לכך שסכום פונקציות בקבוצה נשאר בקבוצה.
  • \langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx היא מכפלה פנימית מעל E.
    • \langle g,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\overline{f(x)}dx = \overline{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx} = \overline{\langle f,g\rangle}
    • \langle af+bg,h\rangle = a\langle f,h\rangle + b\langle g,h\rangle
    • \langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{f(x)}dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2dx
      • בכל קטע רציפות האינטגרל על פונקציה חיובית הוא אפס אם ורק אם היא אפס.
      • כיוון שהפונקציה בכל נקודה שווה לאחד הגבולות החד צדדיים או לממוצע בניהם, נובע שאם האינטגרל לעיל מתאפס הפונקציה חייבת להתאפס לחלוטין.
  • נביט בנורמה המושרית ||f||^2=\langle f,f\rangle


  • כעת נוכיח מספר תכונות של היטלים במרחבי מכפלה פנימית.
  • יש לנקוט בזהירות מיוחדת בנושא זה, כיוון שאנו עוסקים במרחבים שאינם נוצרים סופית (אין להם בסיס סופי או מימד).
  • ייתכן שהוכחתם חלק מהמשפטים הבאים רק עבור מרחבים נוצרים סופית.


  • תהי קבוצה אורתונורמלית סופית \{e_1,...,e_n\}, ונקרא למרחב שהיא פורשת W.
  • לכל וקטור v\in V נגדיר את ההיטל של v על W על ידי \widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i
  • נוכיח מספר תכונות לגבי ההיטל הזה:


  • מתקיים כי \langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle=\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2
    • הוכחה:
    • \langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle v,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\langle v,e_i\rangle}\langle v,e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2
    • \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle = \langle \sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2
    • המעבר האחרון נכון כיוון ש \{e_1,...,e_n\} אורתונורמלית.


  • מתקיים כי ||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2
    • הוכחה:
    • \langle v-\widetilde{v},v-\widetilde{v}\rangle = \langle v,v\rangle - \langle v,\widetilde{v}\rangle - \langle \widetilde{v},v\rangle + \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle
    • נזכור כי \langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle.
    • לכן קיבלנו כי ||v-\widetilde{v}||^2 = ||v||^2 - ||\widetilde{v}||^2


  • מסקנה מיידית: ||\widetilde{v}||\leq ||v||


אי שיוויון בסל

  • כעת תהי קבוצה אורתונורמלית אינסופית \{e_1,e_2,...\}.
  • לכל v\in V מתקיים כי \sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2
    • הוכחה:
    • ראינו שלכל n מתקיים כי \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2.
    • כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה על ידי ||v||^2 ולכן הטור מתכנס למספר שקטן או שווה לו.


  • בפרט נובע כי
\lim_{n\to\infty}|\langle v,e_i\rangle|=0

למת רימן לבג

  • ראינו כי \{\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),...\} היא קבוצה אורתונורמלית בE (כרגע אנו לא צריכים את הפונקציה הקבועה).
  • כמו כן לכל פונקציה f הגדרנו מקדמי פורייה ע"י:
  • לכל 1\leq n\in \mathbb{N} הגדרנו a_n=\langle f,\cos(nx)\rangle, וb_n=\langle f,\sin(nx)\rangle


  • נובע מאי שיוויון בסל כי המקדמים שואפים לאפס.
  • כלומר:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = 0
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = 0


  • למת רימן-לבג: תהי g רציפה למקוטעין בקטע [0,\pi], אזי:
\lim_{n\to\infty}\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = 0
  • הוכחה:
    • \int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{0}^\pi g(t)\cos(\frac{t}{2})\sin(nt) dt+\int_{0}^\pi g(t)\sin(\frac{t}{2})\cos(nt) dt
    • נגדיר את שתי הפונקציות h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases} ו h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}
    • קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי h_c,h_s\in E.
    • ביחד נקבל כי \int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)sin(nt)dt \to 0

גרעין דיריכלה

  • גרעין דיריכלה הוא הפונקציה D_n(t)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}


  • טענה: D_n(t)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(kt) בכל נקודה t\neq 2\pi k
    • הוכחה:
    • נכפל ב2\sin(\frac{t}{2}) ונקבל בצד שמאל:
    • \sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(t) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(2t)+...+2\sin(\frac{t}{2})\cos(nt)
    • נבחין בזהות הטריגונומטרית 2\sin(a)\cos(b) = \sin(b+a)-\sin(b-a)
    • ובפרט 2\sin(\frac{t}{2})\cos(kt) = \sin(kt+\frac{t}{2}) - \sin(kt-\frac{t}{2})
    • ביחד נקבל \sin(\frac{t}{2}) + \sin(t+\frac{t}{2})-\sin(t-\frac{t}{2}) + \sin(2t+\frac{t}{2}) - \sin(2t-\frac{t}{2})+...+\sin(nt+\frac{t}{2}) - \sin(nt-\frac{t}{2}) = \sin(nt+\frac{t}{2}) = \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)


  • נשים לב כי הפונקציה 2\sin(\frac{t}{2}) מתאפסת בנקודות t=2\pi k, בנקודות אלו לגרעין דיריכלה יש אי רציפות סליקה.
  • זה נכון כיוון שפרט לנקודות אלו מדובר בפונקציה רציפה.
  • כמו כן, גרעין דיריכלה מחזורי 2\pi כיוון שהוא סכום של פונקציות מחזוריות 2\pi.


  • נחשב את האינטגרל על גרעין דיריכלה:
  • ראשית, לכל 1\leq k \in \mathbb{N} מתקיים:
\int_0^\pi \cos(kt)dt = \left[\frac{\sin(kt)}{k}\right]_0^\pi = 0
  • לכן נקבל:
\frac{1}{\pi}\int_0^\pi D_n(t)dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[\frac{1}{2} + \cos(t) + \cos(2t)+...+\cos(nt)\right]dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}



הסכומים החלקיים של טור פוריה

  • תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה f שהיא מחזורית 2\pi:
S_n = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)
  • נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי:
S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2}f(t)dt + \sum_{k=1}^n \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)dt\right]\cos(kx)+\left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)dt\right]\sin(kx)=
= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}f(t)+\sum_{k=1}^n f(t)\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt=
=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(k(t-x))\right]dt
  • זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי:
S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt
  • שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה.


  • טענה: תהי f פונקציה מחזורית 2\pi. אזי לכל a\in\mathbb{R} מתקיים כי:
\int_{-\pi}^\pi f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx
  • כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך 2\pi.
    • הוכחה:
\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx
נבצע הצבה t=x-2\pi באינטגרל השני ונקבל:
\int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx = \{t=x-2\pi, dt=dx\} = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t+2\pi)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx
ביחד נקבל כי:
\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx=\int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx = \int_{-\pi}^\pi f(x)dx


  • נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה:
S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du
כיוון שגרעין דיריכלה וf הן מחזוריות, נקבל:
S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt

הרצאה 3 התכנסות נקודתית של טורי פוריה

סימונים והגדרות

  • נסמן את הגבול החד צדדי מימין בf(d^+)=\lim_{x\to d^+}f(x).
  • נסמן את הגבול החד צדדי משמאל בf(d^-)=\lim_{x\to d^-}f(x).
  • שימו לב: אם הפונקציה רציפה למקוטעין, הערכים הללו תמיד מוגדרים.


  • נגדיר את הנגזרת הימנית ע"י f'(x^+) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t)-f(x^+)}{t}.
  • נגדיר את הנגזרת השמאלית ע"י f'(x^-) = \lim_{t\to 0^-}\frac{f(x+t)-f(x^-)}{t}.
  • שימו לב: ייתכן שf'(d^+)=f'(d^-) אך הפונקציה אינה גזירה בd. זה יקרה אם היא לא רציפה בנקודה.


דוגמא:

  • נביט בפונקציה f(x)=\frac{x}{|x|}
  • מתקיים כי f(0^+)=1, וf(0^-)=-1.
  • כמו כן מתקיים כי f'(0^+)=f'(0^-)=0.

כמובן שהפונקציה אינה רציפה ואינה גזירה ב0.


משפט דיריכלה - התכנסות נקודתית של טור פוריה

  • תהי f פונקציה מחזורית 2\pi, רציפה למקוטעין כך שבכל נקודה הנגזרות החד צדדיות שלה קיימות וסופיות.
  • אזי לכל x\in\mathbb{R} הטור עם מקדמי הפוריה של f מתכנס:
\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)
  • בפרט, בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור הפוריה מתכנס נקודתית לפונקציה, ובכל נקודה בה יש אי רציפות קפיצתית טור הפוריה מתכנס לממוצע הגבולות מימין ומשמאל.


הוכחה

  • תהי נקודה x\in\mathbb{R}.
  • נביט בפונקציה g(t) = \frac{f(x+t) - f(x^+)}{2\sin(\frac{t}{2})}
  • \lim_{t\to 0^+}g(t) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t) - f(x^+)}{t}\frac{\frac{t}{2}}{\sin(\frac{t}{2})} = f'(x^+)\cdot 1
  • כיוון שהנגזרות החד צדדיות קיימות וסופיות, קיבלנו שg(t) רציפה למקוטעין בקטע [0,\pi].
  • לפי למת רימן-לבג נובע כי:
\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt=0
  • כלומר:
0=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt= 
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]D_n(t)dt
  • כיוון ש
\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x^+)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2}
  • נובע כי:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x+t)D_n(t)dt =  \frac{f(x^+)}{2}


  • באופן דומה לחלוטין ניתן להוכיח כי:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 f(x+t)D_n(t)dt =  \frac{f(x^-)}{2}
  • ולכן סה"כ נקבל כי:
\lim_{n\to\infty} S_n(x)= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}


דוגמאות

דוגמא 1
  • תהי f ההמשך המחזורי של x.
X fourier.png
  • כיוון שf רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות (כולן שוות 1), תנאי משפט דיריכלה מתקיימים.
  • כיוון שf הינה אי-זוגית, לכל n מתקיים כי a_n=0.


  • כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים:
b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx = 
-\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}
  • לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה x\neq \pi +2\pi k, מתקיים כי:
f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) .
  • בפרט, לכל נקודה x\in (-\pi,\pi) מתקיים כי:
x=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)
  • עבור נקודות אי הרציפות (הקפיצתיות), מתקיים כי הממוצע בין הגבולות החד צדדיים הוא אפס.
  • קל לראות שאכן לכל x=\pi+2\pi k נקבל שטור הפורייה מתכנס לאפס (למעשה כל הסינוסים מתאפסים).


  • נציב לדוגמא x=\frac{\pi}{2} ונקבל:
\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(\frac{n\pi}{2})
  • לכל n זוגי הסינוס יתאפס, ולכן נקבל:
\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1}
  • שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של arctan(x).


דוגמא 2
  • כעת, תהי g ההמשך המחזורי של x^2.
  • הפונקציה g הינה רציפה בכל הממשיים.
  • הפונקציה g גזירה בכל הממשיים פרט לנקודות x=\pi+2\pi k.
  • בנקודות אי הגזירות, הנגזרות החד צדדיות קיימות ושוות ל\pm 2\pi (כיוון שהנגזרת של x^2 היא 2x).
  • סה"כ לפי משפט דיריכלה, טור הפוריה של g מתכנס אליה בכל הממשיים (כיוון שהיא רציפה בכל הממשיים).


  • כלומר קיבלנו שלכל x\in [-\pi,\pi] מתקיים כי:
x^2=\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)


  • שימו לב שאם נגזור איבר איבר את טור הפוריה של x^2, נקבל את טור הפורייה של 2x.
  • האם זה מפתיע?


דוגמא 3
  • תהי h ההמשך המחזורי של הפונקציה \begin{cases}x & x\in [0,\pi]\\0 & x\in [-\pi,0)\end{cases}
X and 0 fourier.png
  • שוב, קיבלנו פונקציה רציפה למקוטעין עם נגזרות חד צדדיות קיימות וסופיות.
  • נחשב את מקדמי הפורייה:


a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi xdx = \frac{\pi}{2}


a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\cos(nx)dx = \frac{1}{n\pi}\left[x\sin(nx)\right]_0^\pi - \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \sin(nx)dx = \frac{1}{n^2\pi}\left[\cos(nx)\right]_0^\pi=
\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}


b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\sin(nx)dx = \frac{-1}{n\pi}\left[x\cos(nx)\right]_0^\pi + \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx = \frac{(-1)^{n+1}}{n}


  • סה"כ שלכל x\in (-\pi,\pi) מתקיים כי:
h(x) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}\cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\right]


  • שימו לב: מצאנו שני טורי פורייה שמתכנסים לx בקטע (0,\pi).
  • באופן דומה אפשר להראות שקיימים אינסוף טורי פורייה כאלה.


טור הנגזרת

  • תהי f רציפה בקטע [-\pi,\pi] כך שהנגזרת שלה f' רציפה למקוטעין בקטע.

שימוש בנוסחאת ניוטון לייבניץ לחישוב האינטגרל המסויים

  • שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ:
    • כיוון שהנגזרת רציפה למקוטעין, אפשר להראות בעזרת לופיטל שהנגזרות החד צדדיות בנקודות אי הגזירות של f קיימות.
    • בעצם, זה מראה שf גזירה בקטעים סגורים בהם אפשר להפעיל את נוסחאת ניוטון לייבניץ.
    • אם נחשב את האינטגרל על הנגזרת בכל הקטעים הסגורים, ערכי f יצטמצמו, פרט לקצוות.
      • לדוגמא:
      • \int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = \int_{-1}^0 (-1)dx + \int_{0}^1 (1)dx = (-x)|_{-1}^0+(x)|_0^1 = 0-1 + 1-0 = 1-1
      • כלומר קיבלנו כי \int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = (|x|)_{-1}^{1}, כאשר (|x|)' = \frac{x}{|x|}

חישוב מקדמי טור הפורייה של הנגזרת

  • נסמן את מקדמי הפורייה של f בa_n,b_n
  • נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב\alpha_n,\beta_n:


\alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= \frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}


\alpha_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\cos(nx)dx = \frac{1}{\pi}\left[f(x)\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi +\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = 
\frac{(-1)^n\left(f(\pi)-f(-\pi)\right)}{\pi}+n\cdot b_n = (-1)^n\alpha_0+nb_n


\beta_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\sin(nx)dx = \frac{1}{\pi}\left[f(x)\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi -\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = -n\cdot a_n


  • כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו:
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)
  • אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו:
f'(x)=\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx)-n\cdot a_n\sin(nx)


  • במקרה המיוחד בו f(-\pi)=f(\pi) מתקיים כי \alpha_0=0 ולכן נקבל את טור הפורייה הפשוט:
f'(x)=\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)-na_n\sin(nx)


דוגמאות

דוגמא 1
  • נזכר בטור הפורייה של x^2:
\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)
  • נרצה למצוא את מקדמי הפוריה של \frac{x^3}{3}, נסמנם בa_n,b_n.


  • לכל 1\leq n נקבל כי:
\frac{2(-1)^n\pi^2}{3}+nb_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}
-na_n = 0
  • כמו כן נחשב את המקדם הראשון:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{x^3}{3}dx = 0


  • נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של \frac{x^3}{3} הוא:
\frac{x^3}{3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n}{n^3}\left(2-\frac{\pi^2 n^2}{3}\right)\sin(nx)


דוגמא 2
  • נחשב את טור הפורייה של e^x.
  • נסמן את טור הפורייה של e^x ב:
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)
  • כמובן שהנגזרת במקרה הזה שווה לפונקציה, ולכן יש לה בדיוק אותו טור פורייה.
  • מצד שני, טור הפורייה של הנגזרת צריך להיות:
\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx) -na_n\sin(nx)
  • כאשר \alpha_0=\frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}=\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi}


  • ביחד נקבל את המשוואות:
a_0=\alpha_0
a_n=(-1)^n\alpha_0+nb_n
b_n=-na_n
  • נציב את המשוואה השלישית בשנייה ונקבל:
a_n=\frac{(-1)^n\alpha_0}{1+n^2}
  • ולכן
b_n=\frac{n(-1)^{n+1}\alpha_0}{1+n^2}


  • סה"כ קיבלנו כי טור הפורייה של e^x הינו:
\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\alpha_0}{1+n^2}\cos(nx) + \frac{n(-1)^{n+1}\alpha_0}{1+n^2}\sin(nx)


  • כיוון שלהמשך המחזורי של e^x יש אי רציפות קפיצתית בx=\pi, טור הפורייה שם מתכנס לממוצע \frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2}
  • כלומר, אם נציב x=\pi נקבל:
\frac{1}{\alpha_0}\frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2} = \frac{1}{2} +\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}
  • נפשט:
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}=\frac{\pi(e^\pi+e^{-\pi})}{2(e^\pi-e^{-\pi})}-\frac{1}{2}

הרצאה 4 - התכנסות במ"ש ושיוויון פרסבל

תנאי להתכנסות במ"ש של טור פורייה

  • תהי f רציפה בקטע [-\pi,\pi] המקיימת f(-\pi)=f(\pi), כך ש f' רציפה למקוטעין.
  • אזי טור הפורייה של f מתכנס אליה במ"ש בכל הממשיים.


  • לפי משפט דיריכלה ידוע כי טור הפורייה של ההמשך המחזורי של f מתכנס אליה בכל נקודה.
  • נסמן את טור הפורייה ב
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)
  • ברור כי
\left|\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right|\leq \frac{|a_0|}{2} + \sum_{n=1}^\infty |a_n|+|b_n|
  • לפי מבחן ה-M של ויירשטראס, מספיק להוכיח שטור המספרים מימין מתכנס על מנת להסיק שטור הפורייה מתכנס במ"ש.


  • נסמן את מקדמי פורייה של הנגזרת ב\alpha_n,\beta_n.
  • כבר חישבנו ש:
    • \alpha_0=0
    • \alpha_n=nb_n
    • \beta_n=-na_n
  • לכן ביחד נקבל כי \sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}=\frac{1}{n}\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}
  • לפי אי שיוויון קושי שוורץ, נקבל כי לכל n מתקיים:
\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n} \leq \sqrt{\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}}\sqrt{\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}
  • לפי אי שיוויון בסל, אנו יודעים כי הטור \sum_{n=1}^\infty |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2 מתכנס, כיוון שמדובר במקדמי פורייה של f'\in E.
    • (זכרו שמותר להניח כי f'\in E על ידי שינוי מספר סופי של נקודות שלא משפיעות על חישוב מקדמי הפורייה.)
  • לכן \left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\right),\left(\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2\right) חסומות כסדרות סכומים חלקיים של טורים מתכנסים.
  • לכן סה"כ \sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n} חסומה, ולכן הטור האינסופי המתאים לה מתכנס.


  • סה"כ קיבלנו כי \sum_{n=1}^\infty \sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2} מתכנס.
  • לכן בוודאי גם הטורים הקטנים יותר \sum_{n=1}^\infty |a_n| ו\sum_{n=1}^\infty |b_n| מתכנסים, כפי שרצינו.


שיוויון פרסבל

  • נביט במערכת האורתונורמלית \{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...\}\subseteq E, ותהי f\in E.
  • ידוע לנו כי a_0=\langle f,1\rangle, ולכן \frac{a_0}{\sqrt{2}}=\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle


  • נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה המתאים לפונקציה f ב S_n.
  • S_n היא ההיטל של f על הקבוצה האורתונורמלית \{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx)\}
    • אכן \langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle \frac{1}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^\infty \langle f,\cos(nx)\rangle \cos(nx) + \langle f,\sin(nx)\rangle \sin(nx) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)


  • נזכור כי ||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2
    • לכן ||f-S_n||^2=||f||^2-||S_n||^2.
  • כמו כן, נזכור כי ||\widetilde{v}||^2 = \sum_{i=1}^{n}|\langle v,e_i\rangle|^2
    • לכן ||S_n||^2 = \frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{k=1}^n |a_k|^2+|b_k|^2


  • אי שיוויון בסל אומר כי \sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2
  • כלומר:
\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 \leq ||f||^2 = \langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx
  • משפט שיוויון פרסבל אומר שבעצם מתקיים שיוויון:
\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx=\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2


  • אם נוכיח ש ||f-S_n||^2\to 0, נסיק כי ||S_n||^2\to ||f||^2 וזהו בדיוק שיוויון פרסבל.


הוכחת שיוויון פרסבל כאשר טור הפורייה מתכנס במ"ש

  • תהי f רציפה בקטע [-\pi,\pi] המקיימת f(-\pi)=f(\pi), כך שהנגזרת שלה f' רציפה למקוטעין.
  • נסמן d_n=\sup_{[-\pi,\pi]}|f-S_n|
  • הוכחנו כי טור הפורייה של f מתכנס אליה במ"ש, כלומר d_n\to 0.
  • לכן ||f-S_n||^2 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f-S_n|^2dx \leq 2d_n^2 \to 0


דוגמא
  • הפונקציה f(x)=x^2 מקיימת את דרישות המשפט.
  • נזכור כי טור הפורייה שלה הוא:
\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)


  • לכן לפי שיוויון פרסבל נקבל כי:
\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^4dx = \frac{4\pi^4}{18}+\sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}


\frac{2\pi^4}{5}-\frac{4\pi^4}{18} = \sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}


  • ולכן:
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}


הוכחת שיוויון פרסבל במקרה הכללי

  • תהי f \in E, אנחנו מעוניינים להוכיח כי ||f-S_m||\to 0.
  • נבנה סדרת פונקציות f_n רציפות בקטע [-\pi,\pi] המקיימות f_n(-\pi)=f_n(\pi), כך שהנגזרות שלהן f_n' רציפות למקוטעין, המקיימות:
||f-f_n||\to 0


  • יהי \varepsilon, נבחר n כך ש ||f-f_n||< \frac{\varepsilon}{2}.
  • נסמן בT_m את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה של f_n.
  • ראינו כי \lim_{m\to\infty}||f_n-T_m||=0.


  • כיוון שההיטל הוא הוקטור הקרוב ביותר, נקבל:
    • ||f-S_m||\leq ||f-T_m||
  • כמו כן, ||f-T_m||\leq ||f-f_n||+||f_n-T_m||
  • קיים מקום החל ממנו לכל m מתקיים כי ||f_n-T_m||< \frac{\varepsilon}{2}.
  • לכן החל ממקום זה ||f-S_m||<\varepsilon כפי שרצינו.


בניית סדרת הפונקציות
  • f רציפה למקוטעין, ולכן רציפה במ"ש בכל קטע רציפות.
  • לכן ניתן לבחור חלוקה P הכוללת את נקודות אי הרציפות, עם פרמטר חלוקה מספיק קטן כך ש |f(x)-f(c_k)|^2< \frac{\varepsilon}{2\pi} לכל זוג נקודות x,c_k\in [x_{k-1},x_k].
  • נבחר נקודות כלשהן c_k בכל קטע ונביט בפונקצית המדרגות g שבכל תת קטע שווה לקבוע f(c_k).
  • כעת האינטגרל תמיד קטן מסכום הדרבו העליון:
    • \int_{-\pi}^{\pi} |f-g|^2dx \leq \sum_{k=1}^n \sup_{[x_{k-1},x_k]}|f(x)-f(c_k)|^2 (x_k-x_{k-1}) \leq  \sum_{k=1}^n  \frac{\varepsilon}{2\pi}(x_k-x_{k-1}) = \varepsilon
  • לכן אפשר לבנות סדרת פונקציות מדרגות כנ"ל g_n כך ש||f-g_n||<\frac{1}{n}


  • כעת נגדיר סדרת פונקציות f_n להיות g_n, פרט לשינויים הבאים:
    • עבור \delta שנקבע בהמשך, נחבר בקו ישר את הנקודות בקצוות המקטעים [x_k-\delta,x_k].
    • נגדיר f_n(-\pi)=g(\pi).
    • נחבר בקו ישר את הנקודות בקצה הקטע [x_0,x_0+\delta].
  • עבור \delta קטנה מספיק, \int_{-\pi}^{\pi}|f_n-g|^2dx < \frac{1}{n}.


  • סה"כ נקבל כי
    • f_n מורכבת מקטעים ישרים המחוברים זה לזה, ולכן מדובר בפונקציה רציפה, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין.
    • f_n(-\pi)=f_n(\pi)
    • אכן מתקיים כי ||f-f_n||\leq ||f-g||+||g-f_n||\to 0

יחידות טור פורייה

הם ישנן שתי פונקציות שונות בעלות אותו טור פורייה?

  • תהיינה f,g\in E בעלות אותם מקדמי פורייה.
  • אם טורי הפורייה מתכנסים לפונקציה, ברור שזו אותה הפונקציה, אבל אם לא?


  • מקדמי הפורייה של f-g הם אפס, ולכן לפי שיוויון פרסבל:
||f-g||^2=0
  • לכן f=g.
  • שימו לב שעבור סתם פונקציות רציפות למקוטעין, זה אומר שf=g פרט למספר סופי של נקודות.

האם תתכן פונקציה אחת, בעלת שני טורים טריגונומטריים?

  • קנטור הוכיח שאם טור טריגונומטרי שווה לאפס בכל הקטע [-\pi,\pi], אזי כל מקדמי הטור הם אפס.
  • יותר מאוחר הוכיחו כי אם הטור מתאפס בכל נקודה בקטע פרט לקבוצה בת מנייה של נקודות, עדיין כל מקדמי הטור הם אפס.
  • מנשוב מצא ב1916 טור טריגונומטרי שמתכנס לאפס בכל נקודה פרט לקבוצה ממידה אפס של נקודות, אך לא כל מקדמי הטור הם אפס.

הרצאה 5 - תופעת גיבס, טורי הסינוסים והקוסינוסים

תופעת גיבס

  • ראינו תנאים בהם טור הפורייה מתכנס במ"ש.
  • כעת אנחנו רוצים לחקור מקרים בהם אין התכנסות במ"ש, ונראה כי בהן יש חריגה מיוחדת של סדרת הסכומי החלקיים מן הפונקציה.


  • נביט בטור פורייה של הפונקציה x:
\sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)
  • נסמן בS_m את סדרת הסכומים החלקיים של הטור ונביט ב:
S_m(\pi - \frac{\pi}{m})=\sum_{n=1}^m \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(n(\pi - \frac{\pi}{m})) = \sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m})
  • כעת,
\sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m}) = 2\sum_{n=1}^m \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{m}\right)}{\left(\frac{n\pi}{m}\right)}\frac{\pi}{m}\to 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx
  • לכן סה"כ השגיאה בקירוב ע"י הסכומים החלקיים בסדרת הנקודות הללו היא:
\pi-\frac{\pi}{m} - S_m (\pi-\frac{\pi}{m}) \to \pi - 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi (1-\frac{2\sin(x)}{x})dx \approx -0.56
  • (הערכת האינטגרל נעשית על ידי פיתוח טור הטיילור של הפונקציה, נקבל טור לייבניץ לפיו קל לבצע הערכת שגיאה.)
  • כלומר סדרת הסכומים החלקיים עולה משמעותית מעל הפונקציה, כפי שניתן לראות בגרף המצורף.
  • אם נחלק את זה בגודל הקפיצה בין הגבולות החד צדדים של ההמשך המחזורי של x בנקודה \pi, נקבל בערך -0.089.


  • לא נוכיח זאת, אבל יחס הטעות הזה בנקודות אי הרציפות נשמר באופן כללי עבור פונקציות בE שנגזרתן רציפה למקוטעין, ונקרא 'תופעת גיבס'.


Gibs x.png

טור הסינוסים וטור הקוסינוסים

  • עבור פונקציה f הרציפה בקטע [0,\pi] ובעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ניתן להשלים אותה לפונקציה f^+ הזוגית בקטע [-\pi,\pi], או לf^- האי זוגית בקטע [-\pi,\pi].


  • את ההמשך הזוגי אפשר לפתח לטור קוסינוסים, שמתכנס במ"ש בקטע [0,\pi]. זה נקרא טור הקוסינוסים של הפונקציה f.
  • הוכחה:
    • f^+ רציפה ב[-\pi,\pi], בעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ומתקיים כמובן שf(-\pi)=f(\pi).


  • את ההמשך האי זוגי אפשר לפתח לטור סינוסים, שמתכנס אל הפונקציה בקטע (0,\pi). זה נקרא טור הסינוסים של הפונקציה f.
  • אם f(\pi)=f(0)=0 אזי טור הסינוסים מתכנס במ"ש בקטע [0,\pi].
  • הוכחה:
    • f^- רציפה כיוון שf(0)=0, ומתקיים כי f(-\pi)=-f(\pi)=0=f(\pi).


  • חישוב המקדמים:
  • עבור טור הקוסינוסים:
    • a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^+\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\cos(nx)dx
  • עבור טור הסינוסים:
    • b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^-\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\sin(nx)dx


דוגמאות

  • נחשב טור קוסינוסים של e^x:
    • a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^xdx = \frac{2}{\pi}(e^\pi-1)
    • a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^x\cos(nx)dx = \frac{2}{\pi}\frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}
    • הטור מתכנס במ"ש לפונקציה בקטע [0,\pi]:
e^x=\frac{e^\pi-1}{\pi}+ \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}\cos(nx)
  • לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את \int_0^x בשני הצדדים ונקבל:
e^x-1 - \frac{e^\pi-1}{\pi}x = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^3+n}\sin(nx)


  • נציב למשל x=0 ונקבל את השיוויון:
\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1} = \frac{\pi}{2} - \frac{e^\pi-1}{2}


  • נחשב טור סינוסים של e^x:
    • b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi e^x\sin(nx)dx = \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}
    • הטור מתכנס בקטע (0,\pi):
e^x=\sum_{n=1}^\infty \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}\sin(nx)


  • נחשב טור סינוסים של f(x)=\pi x - x^2.
  • שימו לב: f(0)=f(\pi)=0.
    • b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi (\pi x-x^2)\sin(nx)dx = \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3}
    • לכן הטור מתכנס במ"ש בקטע [0,\pi]:
\pi x - x^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} \sin(nx)
  • לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את \int_0^x בשני הצדדים ונקבל:
\frac{\pi x^2}{2} - \frac{x^3}{3} =  \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^4}(-\cos(nx)+1)
  • שימו לב שלא מדובר בטור טריגונומטרי.


הרצאה 6 - משוואת החום על טבעת, התמרת פורייה

פתרון משוואת החום

  • נביט במד"ח החום על מוט עבור הפונקציה u(x,t):
    • u_t-ku_{xx}=0
    • u(x,0)=f(x) (תנאי התחלה)
    • u(-\pi,t)=u(\pi,t) (תנאי שפה)
    • u_x(-\pi,t)=u_x(\pi,t) (תנאי שפה)
    • כאשר x\in[-\pi,\pi], וt\in[0,\infty)
  • על מנת להבין את תנאי השפה, אפשר לחשוב על הבעייה במובן שהמוט הוא מעגלי.


  • נחפש פתרון מהצורה u(x,t)=X(x)\cdot T(t).
  • נציב במד"ח את הניחוש, ונקבל:
X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)
  • נניח שהצדדים שונים מאפס ונחלק:
\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}
  • כיוון שכל צד תלוי במשתנה אחר, הדרך היחידה לקבל שיוויון היא אם שני הצדדים קבועים.
  • נביט בפתרונות עבור קבוע שלילי:
\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda


  • כעת נפתור את המד"רים בנפרד:
  • שימו לב שאנו בוחרים את השמות של הקבועים בצורה מיוחדת לקראת הפתרון בהמשך.
    • עבור \lambda=0:
      • X_0(x)=cx+\frac{a_0}{2}, ועל מנת לקיים את תנאי השפה נקבל כי c=0
      • T_0(t)=1 (הקבוע יבלע בקבוע של X_0(x))
    • עבור \lambda\neq 0:
      • X= a_{\sqrt{\lambda}} \cos(\sqrt{\lambda}x) + b_{\sqrt{\lambda}} \sin(\sqrt{\lambda}x)
      • T=e^{-k\lambda t} (הקבוע חסר כי הוא יבלע בקבועים האחרים כאשר נכפול בX(x))


  • ע"י הצבה ניתן לוודא שעבור \lambda=n^2 הפונקציות לעיל מקיימות את תנאי השפה.
  • גם צירוף לינארי שלהן יהווה פתרון כיוון שהמד"ח הומוגנית ותנאי השפה הומוגניים.
  • צירוף לינארי אינסופי יהווה פתרון לבעייה אם טורי הנגזרות יתכנסו במ"ש (ולכן יהיה מותר לגזור איבר איבר).


  • לכן אנו מחפשים פתרון כללי מהצורה:
u(x,t)=T_0(t)X_0(x)+\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty e^{-kn^2 t}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))
  • כל שנותר לנו לעשות הוא למצוא את הקבועים a_n,b_n.
  • נציב כעת בתנאי ההתחלה u(x,0)=f(x) ונקבל בעצם את טור הפורייה:
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)
  • אנחנו יכולים לפתור משוואה זו בהנתן שf מקיימת את תנאי משפט דיריכלה.
  • מדוע זה יהיה פתרון?
    • נזכור שמקדמי הפורייה שואפים לאפס.
    • בזכות האקספוננט, טור זה ונגזרותיו אכן יתכנסו במ"ש עבור t\in [a,\infty) לכל a>0 ולכל x\in[-\pi,\pi].
    • לכן מותר לגזור איבר איבר, ואכן מדובר בפתרון של המד"ח.

התמרת פורייה

טור פורייה המרוכב

  • לא קשה לוודא כי \{e^{inx}\}_{n\in\mathbb{Z}} מהווה קבוצה אורתונורמלית בE אם נעדכן מעט את המכפלה הפנימית:
\langle f,g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx
  • תהי f\in E, שאלה שעולה באופן טבעי היא האם:
f=\sum_{n=-\infty}^\infty \langle f,e^{inx}\rangle e^{inx}
  • כאשר אנו מגדירים את הסכום ממינוס אינסוף עד אינסוף באופן הבא:
\sum_{n=-\infty}^\infty u_n = u_0+\sum_{n=1}^\infty (u_n+u_{-n})


  • נסמן את מקדמי פורייה הרגילים בa_n,b_n.
  • נשים לב כי עבור n=0 נקבל:
\langle f,1\rangle = \frac{a_0}{2}
  • כעת עבור n>0 מתקיים:
\langle f, e^{inx}\rangle e^{inx}+\langle f, e^{-inx}\rangle e^{-inx} =
= (\langle f, e^{inx}\rangle+\langle f, e^{-inx}\rangle)\cos(nx) +  (\langle f, e^{inx}\rangle-\langle f, e^{-inx}\rangle)i\sin(nx)=
= 2\langle f, \cos(nx)\rangle \cos(nx) + 2\langle f, i\sin(nx)\rangle i\sin(nx)=
=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)
  • (שימו לב: הi יצא מהצד הימני של המכפלה הפנימית עם מינוס)


  • כלומר, טור פורייה המרוכב הוא בדיוק טור פורייה הרגיל!

הכללה לפונקציות שאינן מחזוריות

  • טורי פורייה עזרו לנו לחקור פונקציות בקטע [-\pi,\pi].
  • בהנתן גל e^{inx}, מצאנו את ה'אמפליטודה' שלו (המקדם):
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx
  • (שימו לב - המכפלה הפנימית מצמידה את הפונקציה מימין, ולכן קיבלנו -i).


  • מחשבה הגיונית היא שאם נרצה לחקור פונקציות בכל הממשיים, עבור גל e^{isx} נמצא את ה'אמפליטודה':
\mathcal{F}[f](s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx.
  • כאשר האינטגרל מתכנס, הפונקציה \mathcal{F}[f](s) נקראת התמרת פורייה של הפונקציה f.
  • הערה - המקדם \frac{1}{2\pi} לעיתים אינו מופיע בהגדרת ההתמרה. אנחנו נראה בהמשך שיש לו קשר להתמרה ההפוכה.


  • הערות כלליות:
    • נסמן בדר"כ את ההתמרה של f בF(s)=\mathcal{F}(f)(s).
    • F(s) מייצגת את האמפליטודה בכל תדר, ולכן נהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב התדר'.
    • לעומת זאת, f(x) מייצגת את גובה הפונקציה בכל נקודה בזמן, ונהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב הזמן'.
    • לכל תדר s יש שני גלים שמייצגים אותו, e^{\pm isx}.
    • כפי שלמדנו, באמצעות שני הגלים ניתן לייצג כל 'פאזה'.


  • נסמן בG את אוסף הפונקציות g הרציפות למקוטעין ב\mathbb{R}, עבורן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס \int_{-\infty}^\infty|g(x)|dx<\infty.
  • לכל f\in G התמרת הפורייה מוגדרת בכל הממשיים.
    • הוכחה:
    • \int_{-\infty}^\infty|f(x)e^{-isx}|dx = \int_{-\infty}^\infty|f(x)|dx מתכנס.
    • כיוון שהאינטגרל המגדיר את F(s) מתכנס בהחלט, הוא מתכנס.
דוגמאות
  • נמצא את \mathcal{F}(f)(s) עבור f(x)=e^{-|x|}.
2\pi F(s)=\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}e^{-isx}dx = \int_0^\infty e^{-x}e^{-isx}dx + \int_{-\infty}^0 e^{x}e^{-isx}dx=
=\left[\frac{e^{-x(1+is)}}{-(1+is)}\right]_0^\infty + \left[\frac{e^{x(1-is)}}{1-is}\right]_{-\infty}^0=\frac{1}{1+is} + \frac{1}{1-is} = \frac{2}{1+s^2}
  • שימו לב - השתמשנו בעובדה שe^{isx} חסומה, ואילו e^{-x}\to 0 כאשר x\to \infty.
  • לכן סה"כ קיבלנו כי \mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}


  • נמצא את התמרת הפורייה של f(x)=\begin{cases}|x| & |x|\leq \pi \\ 0 & |x|>\pi\end{cases}
F(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|e^{-isx}dx =
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\cos(sx)dx - \frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\sin(sx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi x\cos(sx)dx = \frac{\sin(s\pi)}{s} + \frac{\cos(s\pi)-1}{s^2\pi}

הרצאה 7 - תכונות של התמרות פורייה

תכונות ההתמרה

  • תהי f\in G אזי F(s)=\mathcal{F}[f](s) רציפה במ"ש ב\mathbb{R}.
    • הוכחה:
    • יהי \varepsilon>0. כיוון ש \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx מתכנס, קיים R עבורו \frac{1}{2\pi}\int_{|x|>R}|f(x)|dx <\frac{\varepsilon}{4}
    • עבור s_1,s_2 מתקיים כי |F(s_1)-F(s_2)|\leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx
    • כמובן ש |e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq 2 ולכן בתחום |x|>R האינטגרל הנ"ל קטן מ\frac{\varepsilon}{2}.
    • נותר להוכיח שעבור s_1,s_2 מספיק קרובים מתקיים כי \frac{1}{2\pi}\int_{-R}^{R}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx<\frac{\varepsilon}{2}
    • נראה כי |e^{ix}-e^{iy}|\leq |x-y|.
      • |e^{ix}-e^{iy}| הוא המרחק בין שתי נקודות על מעגל היחידה.
      • |x-y| הוא הזווית בינהן, כלומר אורך הקשת בינהן.
      • אורך הקשת בוודאי גדול או שווה למרחק הישר בין שתי הנקודות.
    • לכן |e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq |x||s_1-s_2|
    • כיוון ש|x|\leq R והפונקציה f חסומה בתחום זה, עבור |s_1-s_2| מספיק קטן נקבל את הדרוש.


  • רשימת תכונות נוספות של ההתמרה:
  • \mathcal{F}[f+a\cdot g] = \mathcal{F}[f]+a\mathcal{F}[g]
  • \mathcal{F}[f](-s) = \overline{\mathcal{F}[f](s)}
  • אם f ממשית וזוגית, גם \mathcal{F}[f](s) ממשית וזוגית.


  • הזזה במרחב הזמן:
  • אם g(x)=f(ax+b), אזי \mathcal{F}(g)(s) = \frac{1}{|a|}e^{\frac{isb}{a}}\mathcal{F}[f](\frac{s}{a})
  • אם a=1 אז נקבל שהזזה במרחב הזמן שקולה לסיבוב במרחב התדר (כפל בe^{isb} משנה את הזוית).


  • הזזה במרחב התדר:
  • \mathcal{F}[e^{ibx}f(x)](s) = \mathcal{F}[f](s-b)
  • באופן דומה, קיבלנו שסיבוב בזמן שקול להזזה בתדר.


  • התמרת הנגזרת:
  • נניח f,f'\in G ונניח כי \lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0, אזי:
  • \mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)
    • הוכחה:
    • \mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)e^{-isx}dx
    • נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל כי
    • \mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}(fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty} + \frac{is}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx.
    • כיוון שe^{-isx} חסומה, יחד עם הנתון נובע כי (fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty}=0.
    • לכן סה"כ קיבלנו כי \mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)


  • נגזרת ההתמרה:
  • תהי f\in G רציפה כך שxf(x)\in G אזי:
  • \mathcal{F}[xf(x)](s)=i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s)
    • הוכחה:
    • i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s) = i \frac{d}{ds} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \frac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\frac{d}{ds}e^{-isx}dx = \frac{-i^2}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)e^{-isx} = \mathcal{F}[xf(x)](s)
    • אנחנו צריכים להצדיק את ההכנסה של הנגזרת אל תוך האינטגרל:
      • נסמן F_n(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} f(x)e^{-isx}dx
      • ברור שF_n(s)\to F(s), נוכיח שסדרת הנגזרות מתכנסת במ"ש ולכן מתכנסת לנגזרת של F(s).
      • עבור אינטגרל סופי מותר להחליף את סדר הנגזרת והאינטגרל בזכות פוביני.
      • אכן F_n'(s) מתכנסות במ"ש כיוון שהאינטגרל \int_{-\infty}^\infty |xf(x)|dx מתכנס, והרי |xf(x)e^{-isx}|=|xf(x)| ואכן אינו תלוי בs.

דוגמאות

  • ראינו כי \mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}
  • לכן על ידי הזזה בזמן נקבל כי:
    • \mathcal{F}[e^{-|1-2x|}](s) = \frac{e^{\frac{-is}{2}}}{2\pi (1+(-\frac{s}{2})^2)}


  • נסמן F(s)=\mathcal{F}[e^{-x^2}].
  • כעת \mathcal{F}[xe^{-x^2}] = iF' לפי הנוסחא של נגזרת ההתמרה.
  • מצד שני, \mathcal{F}[-2xe^{-x^2}] = isF לפי הנוסחא של התמרת הנגזרת.
  • ביחד נקבל כי isF = -2iF', ולכן sF=-2F'.
  • נפתור את המד"ר:
    • נכפול בגורם אינטגרציה \frac{1}{2}e^{\frac{s^2}{4}} ונקבל (e^{\frac{s^2}{4}}F)'=0
    • לכן F=Ce^{-\frac{s^2}{4}}
    • נציב s=0
    • 2\pi S=F(0)=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx , נחשב אינטגרל מפורסם זה בהמשך.


הרצאה 8 - התמרה הפוכה

  • בטורי פורייה, מקדמי הפורייה היו האמפליטודות של התדרים, וכאשר סכמנו את הגלים קיבלנו חזרה את הפונקציה לפי משפט דיריכלה.
  • כעת התדרים שלנו הם כל הממשיים, ולכן הסכימה שלהם היא בעצם אינטגרל.
  • האמפליטודה של כל תדר מרוכב e^{isx} היא התמרת הפורייה F(s), ולכן אנחנו מצפים לקבל:
    • f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(s)e^{isx}ds=\mathcal{F}^{-1}[F](x)


  • משפט ההתמרה ההפוכה:
    • תהי f\in G, אזי בכל נקודה בה קיימות הנגזרות החד צדדיות מתקיים כי:
    • \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\lim_{n\to\infty}\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds
    • שימו לב שהאינטגרל \int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds לא חייב להתכנס, אבל אם הוא מתכנס הוא שווה לגבול לעיל.

דוגמא

  • ראינו ש\mathcal{F}[e^{-x^2}] = Ce^{-\frac{s^2}{4}} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-isx}dx
  • כיוון שe^{-x^2} רציפה וגזירה, וכיוון ש e^{-\frac{s^2}{4}}\in G לפי משפט ההתמרה ההפוכה נקבל כי:
    • \mathcal{F}^{-1}[Ce^{-\frac{s^2}{4}}](x) = e^{-x^2}
  • כלומר e^{-x^2}=\int_{-\infty}^\infty Ce^{-\frac{s^2}{4}}e^{-isx}ds
  • נציב t=\frac{s}{2} ונקבל:
    • e^{-x^2} = 2C\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}e^{-i(-2x)t}dt = 2C\cdot 2\pi Ce^{-\frac{(-2x)^2}{4}}
  • ולכן 4C^2\pi = 1, ומכאן C=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}


  • נזכור בנוסף שראינו כי 2\pi C = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx.
  • לכן נובע כי \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}

הקדמה לקראת הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה

  • כעת נוכיח מספר טענות הדרושות לנו לצורך הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה.


למת רימן-לבג

  • ראינו גרסא של למת רימן-לבג עבור טורי פוריה, לפי מקדמי הפורייה שואפים לאפס.
  • כעת ננסח ונוכיח גרסא עבור התמרות פורייה:


  • תהי f\in G, אזי \lim_{s\to\pm\infty}\mathcal{F}[f](s)=0
  • (כלומר, האמפליטודות שואפות לאפס כאשר התדר שואף לאינסוף)


  • נוכיח את הלמה:


  • צ"ל כי\lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx =0
  • נשים לב כי e^{-isx}=\cos(sx)-i\sin(sx).
  • לכן מספיק לנו להוכיח כי \lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(sx)dx =0 (ההוכחה עבור סינוס דומה).
  • כיוון שf\in G האינטגרל \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx מתכנס.
  • לכן קיים M עבורו \int_{|x|>M}|f(x)|dx<\frac{\varepsilon}{2}.
  • לכן |\int_{|x|>M}f(x)\cos(sx)dx|\leq \int_{|x|>M}|f(x)|dx < \frac{\varepsilon}{2}
  • לכן מספיק לנו להוכיח כי עבור |s| מספיק גדול מתקיים |\int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx| < \frac{\varepsilon}{2}
  • (עבור M=\pi וs\in\mathbb{N} כבר הוכחנו טענה זו בעזרת פרסבל, כעת נשתמש בשיטות אחרות.)


  • נשים לב כי בכל קטע מתקיים:
    • \lim_{s\to\pm\infty}\int_{x_1}^{x_2}\cos(sx)dx = \lim_{s\to\pm\infty}\frac{\sin(sx_2)-\sin(sx_1)}{s}=0
  • כיוון שf רציפה למקוטעין היא אינטגרבילית ב[-M,M].
  • לכן ניתן לבחור פונקצית מדרגות h עבורה מתקיים \int_{-M}^M |f-h|dx < \frac{\varepsilon}{4} (האינטגרל על פונקצית המדרגות הינו סכום דרבו תחתון מספיק קרוב).
  • כמו כן מתקיים:
    • \int_{-M}^Mh\cos(sx)dx = \sum \int_{x_{i-1}}^{x_i}m_i\cos(sx)dx
    • כיוון שמדובר בסכום סופי של ביטויים ששואפים לאפס, הסכום גם שואף לאפס.
  • סה"כ \int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx = \int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx + \int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx
    • מתקיים כי |\int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx|\leq \int_{-M}^{M}|f(x)-h(x)|dx < \frac{\varepsilon}{4}
    • עבור |s| מספיק גדול מתקיים כי |\int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx|< \frac{\varepsilon}{4}


  • סה"כ קיבלנו כי עבור |s| מספיק גדול מתקיים |\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos(sx)sx|<\varepsilon


טענת עזר

  • תהי f\in G ותהי x נק' בה הנגזרות החד צדדיות קיימות, אזי:
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_0^{\infty} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{0} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^-)}{2}


  • נוכיח את הטענה הראשונה, הטענה השנייה דומה.


  • נגדיר את הפונקציה g(t)=\begin{cases}\frac{f(x+t)}{t}& x\in [\pi,\infty)\\ 0 & x\in (-\infty,\pi)\end{cases}
  • כיוון שf\in G נובע שגם g\in G הרי \left|\frac{f(x+t)}{t}\right|\leq |f(x+t)| עבור t>\pi.
  • לכן לפי למת רימן-לבג נובע כי \lim_{s\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin(st)dt = 0
  • בפרט מתקיים גבול הסדרה:
    • \lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt =0
  • אבל \int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt = \int_\pi^\infty \frac{f(x+t)}{t}\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt


  • לכן נותר להוכיח כי \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}
  • נגדיר את הפונקציה h(t)=f(x+t)\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}.
    • אם נתקן את אי הרציפות הסליקה של \frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t} נקבל טור טיילור שגזיר אינסוף פעמים.
    • לכן הפוקנציה h רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות.
  • כעת נשים לב כי:
    • \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt
= \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)D_n(t)dt
    • לפי ההוכחה של משפט דיריכלה להתכנסות טורי פורייה, הגבול של הביטוי הזה שווה ל\frac{h(0^+)}{2} = \frac{f(x^+)}{2}.


דוגמא
  • טענה:
\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = \frac{\pi}{2}


  • הוכחה:
    • ראשית, אנו יודעים כי האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה לאינטגרלים לא אמיתיים.
    • לכן מתקיים כי \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx =\lim_{n\to\infty} \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx
    • נבצע הצבה t=\frac{x}{n+\frac{1}{2}} ונקבל כי:
      • \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt
    • עבור f(x)=1, לפי הוכחת טענת העזר נקבל כי הגבול הוא \frac{\pi}{2}

הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה

  • \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-isy}dy\right]e^{isx}ds=
  • =\frac{1}{2\pi} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds
  • נחליף את סדר האינטגרציה (הצדקה בהמשך), ונקבל:
  • \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy =
  • \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \left[\frac{e^{is(x-y)}}{i(x-y)}\right]_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} dy =
  • \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \frac{2\sin\left((n+\frac{1}{2})(x-y)\right)}{(x-y)} dy
  • נציב t=y-x ונקבל:
  • \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x+t) \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}

כאשר המעבר האחרון הוא בזכות טענת העזר לעיל.


הצדקת החלפת סדר האינטגרציה

  • נביט בסדרה u_k(s)=\int_{-k}^k f(y)e^{is(x-y)}dy, שמתכנסת כמובן ל\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy
  • מתקיים כי |\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy - u_k(s)| \leq \int_{|y|>k} |f(y)e^{is(x-y)}|dy = \int_{|y|>k} |f(y)|dy\to 0
    • (נתון כי f\in G)
  • לכן הסדרה מתכנסת במ"ש ומותר לבצע אינטגרציה איבר איבר:
    • \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} u_k(s)ds
    • לפי פוביני מותר לנו להחליף את סדר האינטגרציה ונקבל כי
    • \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-k}^k \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy = \int_{-\infty}^\infty \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy
    • שימו לב שהאינטגרל הלא אמיתי אכן מתכנס (כפי שהוכחנו לעיל) ולכן שווה לגבול.