שינויים

<math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_iu_j>u_j,\sum_{j=1}^k<v_i,u_iu_j>u_j>\Big)=</math> <math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<<v_i,u_j>,<v_i,u_j>>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n<<u_j,v_i>,<u_j,v_i>>\Big)=</math> <math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(||\pi_V(u_j)||^2\Big)</math>  אבל <math>\pi_V(u_j)=u_j</math> וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.