את כל המשפטים במתמטיקה אפשר, עקרונית, להוכיח באופן פורמלי ממערכת אקסיומות אחת, המתארת תכונות בסיסיות של קבוצות. מערכת האקסיומות הנפוצה ביותר נקראת '''אקסיומות צרמלו-פרנקל''', על שם המתמטיקאים שניסחו אותן. רוב האקסיומות פשוטות בתכלית: קיימת קבוצה ריקה, לכל קבוצה יש קבוצת חזקה, וכדומה. על מידת האינטואיטיביות של אחת האקסיומות ברשימה, '''אקסיומת הבחירה''', קמו חולקים.
בשורש המחלוקת לגבי האקסיומה ניצב הפער שבין קיום למימוש "אלגוריתמי". באחת מגרסאותיה השקולות, האקסיומה מבטיחה קיומה של פונקציה, מבלי לספק כל הסבר כיצד היא פועלת, מפעילים את הפונקציה על איברים בתחומה. דבר שלא זה לא היה מקובל במתמטיקה הקלאסית. עם השנים, התקבלה האקסיומה כמעט ללא עוררין, בין השאר בשל נחיצותה לתוצאות חשובות רבות במתמטיקה.
הוכחת הלמה של צורן השתמשה באקסיומת הבחירה. בהנתן האקסיומות האחרות של צרמלו ופרנקל, אפשר (ולמעשה, לא קשה) להוכיח את אקסיומת הבחירה בעזרת הלמה של צורן. לכן, הלמה של צורן שקולה לאקסיומת הבחירה. כיון שהלמה של צורן (או אקסיומת הבחירה) חיונית כל כך בכל ענפי המתמטיקה, עם השנים אומצה אקסיומת הבחירה כאקסיומה הכרחית באקסיומטיקה של המתמטיקה.
בענפים מתמטיים בעל אופי אלגוריתמי, עדיין נותר הצורך למצוא דרכים שלא להשתמש באקסיומת הבחירה בהוכחות. גם שם, לאקסיומת הבחירה תפקיד במציאת מועמדים למשפטים שלאחר מכן ינסו החוקרים לחפש עבורם הוכחות עם בניה מפורשת.