שינויים

'''הלמה של צורן''' היא למה יסודית במתמטיקה, המאפשרת להוכיח קיום של אובייקטים מתמטיים שקשה (ולפעמים אי אפשר) לבנות באופן ישירבצורה מפורשת.

תהי <math>X </math> '''קבוצה סדורהחלקית''' (קבוצה עם יחס סדר חלקי חלש<math>\le</math>). תת-קבוצה <math>C</math> של <math>X </math> הסדורה לינארית קוית (כל שני איברים של <math>C</math> ניתנים להשוואה) נקראת '''שרשרת'''.

'''דוגמאות:''' אם <math> x_1< x_2 < \cdots</math> אז <math>\{x_1,x_2,\dots\}</math> היא שרשרת, שבה לכל איבר יש עוקב ישירמיידי. אבל זהו בשום אופן אינו המקרה הכללי: בדרך כלל אין זה המצב. למשל, המספרים הרציונליים מהווים שרשרת שבה אין לאף איבר עוקב ישירמיידי. המספרים הממשיים הם שרשרת שאינה בת מניה.

'''הלמה של צורן'''. תהי <math>X </math> קבוצה לא ריקה, עם התכונה שלכל שרשרת (לא ריקה) ב-<math>X </math> יש חסם מלעיל. אז יש ב-<math>X </math> איבר מקסימלי.

1. # הטענה כמובן אינה נכונה אם <math>X </math> ריקה. זו אינה נקודה שולית: הלמה של צורן מספקת הוכחת קיום, וכדי להפעיל אותה יש לוודא שקיים איזשהו איבר בקבוצה <math>X</math>; רק אחר-כך מספקת הלמה איבר מקסימלי בקבוצה.# אם <math>X</math> קבוצה סדורה לינארית, טענת הלמה נכונה באופן טריוויאלי (משום ש-<math>X</math> עצמה היא שרשרת, ולפי ההנחה יש לה חסם מלעיל, שהוא איבר מקסימלי). הלמה נועדה, איפוא, לטפל במקרים שבהם הסדר של <math>X</math> אינו לינארי.# במקרה שהקבוצה הסדורה <math>X</math> סופית, אין צורך בלמה: ניקח איבר כלשהו של <math>X</math>. אם הוא מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו. אם האיבר החדש מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו, וכו'. כל עוד איננו נעצרים באיבר מקסימלי, אנו מקבלים איברים חדשים של <math>X</math>. כיון שהקבוצה <math>X</math> סופית, התהליך חייב להפסק לאחר מספר סופי של צעדים, כלומר ניעצר באיבר מקסימלי.# מבחינה אינטואיטיבית, אפשר לבצע את התהליך של ההערה הקודמת גם במקרה ש <math>X</math> קבוצה אינסופית. כאן, מופיע מרכיב נוסף: לאחר שבחרנו איברים <math>x_1<x_2<x_3<\cdots</math>, ייתכן שאף אחד מהם אינו מקסימלי. זה המקום שעלינו להשתמש בתנאי של הלמה של צורן, האומר שלכל שרשרת, ובפרט לשרשרת הזו, יש חסם מלעיל. נקרא לו, למשל, <math>x_\omega</math>. כעת אפשר להמשיך את התהליך של בחירת איברים יותר ויותר גדולים, ואם לא ניעצר, נקבל שוב שרשרת, ושוב יהיה לה חסם מלעיל, ושוב אפשר להמשיך. בכל צעד, מוסיפים לשרשרת איבר חדש של X. לכן, התהליך חייב להיעצר מתישהו לפני שהקבוצה <math>X</math> "נגמרת". כיון שהקבוצה אינסופית, לא ברורה המשמעות של הטיעון הזה כל עוד לא מפתחים מנגנון עבור בניה באינדוקציה מעבר למקרה הבן מניה. כיון שאין כאן המקום להאריך בזה, ניתן במקום זאת הוכחה בצורה אחרת.

2. אם X עצמה סדורה לינארית, זוהי טענה טריוויאלית (משום שאם X שרשרת, יש לה חסם מלעיל לפי ההנחה, והוא איבר מקסימלי). === הלמה נועדה, איפוא, לטפל במקרים שבהם הסדר של X אינו לינארי.צורן עבור משפחה של קבוצות ===

3. במקרה כדי להפעיל את הלמה של צורן יש להראות (אחרי שמוודאים שהקבוצה הסדורה X סופית, אין צורך בלמה: ניקח איבר כלשהו של <math>X</math> אינה ריקה) שלכל שרשרת יש חסם מלעיל. אם הוא מקסימלי<math>X</math> היא משפחה של קבוצות, סיימנוזה עשוי להיות קל במיוחד. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו. אם האיבר החדש מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו, וכואנו אומרים ש-<math>X</math> '. כל עוד איננו נעצרים באיבר מקסימלי, אנו מקבלים איברים חדשים ''סגורה לאיחוד של שרשראות''' אם לכל שרשרת <math>C \subseteq X. כיון שהקבוצה X סופית</math>, התהליך חייב להפסק לאחר מספר סופי האיחוד <math>\bigcup_{A \in C} A</math> של צעדים, כלומר ניעצר באיבר מקסימליכל הקבוצות בשרשרת שייך ל-<math>X</math>.

מבחינה אינטואיטיבית, אפשר לבצע את אותו תהליך גם במקרה ש X קבוצה אינסופית. כאן(שוב, מופיע מרכיב נוסף: לאחר שבחרנו איברים אם <math>x_1<x_2<x_3<\cdotsX</math>היתה סדורה לינארית, ייתכן שאף אחד מהם אינו מקסימלי. זה המקום שעלינו להשתמש בתנאי אפשר היה לקחת את האיחוד של הלמה של צורן, האומר שלכל שרשרת, ובפרט לשרשרת הזו, יש חסם מלעיל. נקרא לו, למשל, כל הקבוצות ב-<math>x_\omegaX</math>. כעת אפשר להמשיך את התהליך של בחירת איברים יותר ויותר גדולים; אלא שבכל המקרים המעניינים, ואם לא ניעצר, נקבל שוב שרשרת, ושוב יהיה לה חסם מלעיל, ושוב אפשר להמשיך. בכל צעד, מוסיפים לשרשרת איבר חדש של <math>X. לכן</math> אינה לינארית, התהליך חייב להיעצר מתישהו לפני שהקבוצה X "נגמרת". כיון שהקבוצה אינסופית, לא ברורה המשמעות ואפילו אינה סגורה ביחס לאיחוד סופי של הטיעון הזה כל עוד לא מפתחים מנגנון עבור בניה באינדוקציה מעבר למקרה הבן מניה. כיון שאין כאן המקום להאריך בזה, ניתן במקום זאת הוכחה בצורה אחרתסתם שני אברים).

=== '''הלמה של צורן עבור משפחה של קבוצות ===:''' תהי <math>X</math> משפחה לא ריקה של קבוצות, הסגורה לאיחוד של שרשראות. אז יש ב-<math>X</math> איבר מקסימלי.

כדי להפעיל את הוכחת הלמה של צורן יש להראות שלכל שרשרת יש חסם מלעילתובא בהמשך. אם X היא משפחה של קבוצותראשית, זה עשוי להיות קל במיוחד. אנו אומרים ש-X סגורה לאיחוד של שרשראות אם לכל שרשרת <math>\ C \subseteq X</math>, האיחוד <math>\ \bigcup_{A \in C} A</math> שייך ל-X. (שוב, אם X היתה סדורה לינארית, אפשר היה לקחת את האיחוד של כל הקבוצות ב-X; אלא שבכל המקרים המעניינים, X אינה לינארית, ואפילו אינה סגורה ביחס לאיחוד סופי של סתם שני אברים)נראה דוגמאות ליישומיה החשובים.

== הוכחת הלמה של צורן מאקסיומת הבחירה = יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי ===

בסעיף זה נוכיח את הלמה של צורן'''משפט'''. למעשה נוכיח טענה חזקה יותרלכל שתי קבוצות <math>A,B</math> מתקיים<math>\ |A| \leq |B|</math> או <math>\ |B| \leq |A|</math>.

קבוצה סדורה A היא '''סדורה היטב''', אם לכל תת-קבוצה לא ריקה שלה יש מינימום (היינו איבר שהוא קטן או שווה לכל איבר אחר; לא די בקיומו תרגיל: המשפחה <math>X</math> מקיימת את תנאי הלמה של איבר מינימלי)צורן עבור קבוצות.

'''הערה'''. כל קבוצה סדורה היטב היא שרשרת. אכןלכן, יהיו a,b אברים בקבוצה, אז לקבוצה הלא-ריקה יש במשפחה <math>\ \{a,b\}X</math> יש מינימום, שהוא איבר הקטן מן האיבר השני; לכן כל שני אברים ניתנים להשוואהמקסימלי <math>f</math>. (מבחינת הכלה) מ <math>A</math> ל <math>B</math>.נבחן את האפשרויות השונות:

תת-קבוצה H של קבוצה סדורה A נקראת '''רישא''', אם היא "סגורה כלפי מטה", כלומר לכל א. תחום הפונקציה <math>\ a \in Af</math> ולכל הוא הקבוצה <math>\ h \in HA</math>, אם כולה. אז <math>f\ a < hcolon A\to B</math> אז פונקציה חד-חד ערכית, ולכן <math>|A|\ a \in Hle |B|</math>.

'''טענה'''ב. כל רישא של קבוצה סדורה היטב גם תמונת הפונקציה <math>f</math> היא סדורה היטבהקבוצה <math>B</math> כולה. אז <math>f^{-1}\colon B\to A</math> היא פונקציה (במובן הרגיל) חד-חד ערכית, ולכן <math>|B|\le |A|</math>.

לכל ג. נניח בשלילה שאף אחד מבין (א) או (ב) אינו מתקיים. אז יש איברים <math>\ a\in A,b\in B</math> מסמנים כך ש <math>\ A_{<a} </math> אינו בתחום הפונקציה <math>b</math> ו <math>f</math> אינו בתמונת הפונקציה <math>f</math>.במקרה זה, אפשר להרחיב את הפונקציה <math>f</math> לפונקציה <math>f':= f\{x \in Acup\{(a, | b)\}</math>, x או במלים אחרות, על ידי הגדרת < math>f'(a)=b</math> (ועבור <math>x\in\operatorname{dom}(f)</math> נגדיר <math>f'(x)=f(x)</math>). נקבל פונקציה המרחיבה ממש את הפונקציה <math>f</math> ושייכת ל <math>X</math> (בדוק!), בסתירה למקסימליות <math>f</math> במשפחה <math>X</math>; זוהי תמיד רישא של A.

'''טענה'''. לכל רישא אמיתית H של קבוצה סדורה היטב A קיים לסיכום, בהכרח מתקיים (א) (ואז <math>\ a \in |A</math> כך ש-<math>|\ H = A_{<a}le |B|</math>. '''הוכחה'''. קח a להיות המינימום של הקבוצה ) או (ב) (ואז <math>|B|\ \{x \in le |A | x > H\}</math>). מ.ש.ל

=== הגרסה החזקה סכום ומכפלה של הלמה של צורן עוצמות ===

'''הלמה של צורןמשפט''' (גרסה חזקה). תהי X לכל קבוצה לא ריקה, עם התכונה שלכל תת-קבוצה סדורה היטב (ולא ריקה) ב-X יש חסם מלעיל. אז יש ב-X איבר מקסימליאינסופית A מתקיים <math>\ |A\times A| = |A|</math>.

גרסה זו נבדלת מן הקודמת בכך שכעת אנו מניחים שיש חסם מלעיל רק לשרשראות שהן סדורות היטב'''מסקנה'''. אם <math>\max\{|A|, ולא לכל השרשראות|B|\}</math> עוצמה אינסופית, אז <math>\ |A|\cdot |B| = \max\{|A|,|B|\}</math>.

שאר הסעיף מוקדש ל'''הוכחת הלמההוכחה''' (על-פי Pierre-Yves Gaillard). ההוכחה בדרך השלילה. נניח שאין לש-X איבר מקסימלי<math>|A|\leq |B|</math>. לפי ההנחה <math>|B|</math> אינסופית, ולכן <math>\ |B| = 1\cdot |B| \leq |A|\cdot |B| \leq |B| \cdot |B| = |B|</math>.

לפי ההנחה, כל תת-קבוצה סדורה היטב W של X חסומה מלעיל. הנחת השלילה, הקובעת שאין איבר מקסימלי, אומרת יותר מזה: קיים איבר <math>\ p(W) \in X</math> הגדול ממש מ-W, כלומר <math>\ p(W)>w</math> לכל <math>\ w\in W</math>. נתבונן בתת-קבוצה סדורה היטב W. לכל <math>\ w \in W</math>, האיבר w הוא חסם מלעיל של הרישא <math>\ W_{<w}</math>, ולכן ''יתכן'מסקנה' ש-<math>\ p(W_{<w})=w</math>; יתכן, כמובן, שלא. נאמר שתת-קבוצה סדורה היטב W היא '''מדוייקת''' אם . לכל שתי קבוצות אינסופיות A,B מתקיים <math>\ w|A| + |B| = \in W</math> מתקיים <math>max\ p(W_{<w|A|,|B|\}) = w</math>.

נסמן ב'''הוכחה'''. נניח ש-<math>|A|\ \Omegaleq |B|</math> את קבוצת תת-הקבוצות המדוייקות של X. תהי U האיחוד של כל הקבוצות השייכות ל- אז <math>|B|</math> אינסופית, ולכן <math>|B|\leq |A| + |B| \leq = 2 |B| = \max\ {2,|B|\Omega}=|B|</math>.

'''טענה 1'''. לכל <math>\ W,W' \in \Omega</math>, אחת מהן היא רישא של השניה. אכן, תהי Q האיחוד של כל הרישות המשותפות ל-<math>\ W,W'</math>. אם נניח ש-<math>\ Q \neq W,W'</math>, אז יש <math>\ a\in W, a'\in W'</math> כך ש- <math>\ Q = W_{<a} = W'_{<a'}</math>, אבל אז <math>\ a = p(Q) לכל מרחב וקטורי יש בסיס = a'</math> מכיוון ש-<math>\ W,W'</math> מדוייקות, ויוצא ש-<math>\ Q \cup \{p(Q)\}</math> גם היא רישא משותפת ל-<math>\ W,W'</math>, בסתירה להגדרה של Q. מכאן ש- <math>\ Q = W</math> או <math>\ Q = W'</math>, וזה מוכיח את טענה 1.

'''מסקנה 2משפט'''. <math>\ \Omega</math> סדורה לינארית. אכן, מכל שני אברים של <math>\ \Omega</math>, אחד הוא רישא של השני, ולכן מוכל בולכל מרחב וקטורי יש בסיס.

'''מסקנה 3'''. <math>\ U</math> היא שרשרת. אכן, לכל <math>\ a,a' \in U</math> זו טענה שאפשר להוכיח באינדוקציה אם יש <math>\ W,W' \in \Omega</math> כך ש-<math>\ a\in W, a' \in W'</math>; ולפי מסקנה 2 אפשר להניח <math>\ W \subseteq W'</math> (או להיפך) ואז <math>\ a,a' \in W'</math>למרחב בסיס סופי, והרי <math>\ W'</math> שרשרתאבל המקרה הכללי דורש כלים מתקדמים יותר.

'''טענה 4הוכחה'''. כל יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. נסמן ב-X את משפחת תת-הקבוצות של V שאינן תלויות לינארית (הקבוצה הריקה שייכת ל-X, ולכן X אינה ריקה). נוכיח ש-X סגורה לאיחוד של שרשראות. אכן, תהי C שרשרת ב-X. נתבונן באיחוד <math>\ W \bigcup_{A \inC} A</math>. יהיו <math>\Omegav_1,\dots,v_n \in \bigcup_{A \in C} A</math> הוא רישא אברים של U. אכןהמרחב, כך שקיימים סקלרים <math>\ W \subseteq Ualpha_1,\dots,\alpha_n \in F</math> לפי ההגדרה של U כאיחוד הקבוצות השייכות לכך ש-<math>\ \Omegaalpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n = 0</math>, ולפי טענה . לכל <math>\ i=1, W \dots,n</math> יש איבר <math>\ A_i \in C</math> כך ש-<math>\ v_i \in A_i</math>; אבל C היא רישא של Uשרשרת, ולכן מבין האברים <math>\ A_1,\dots,A_n</math> יש אחד המכיל את כולם; נאמר שזהו <math>\ A_n</math>. אז <math>\ v_1,\dots,v_n \in A_n</math>, אבל <math>\ A_n</math> בלתי תלויה לינארית (משום שהיא שייכת ל-X), ולכן המקדמים <math>\ \alpha_1,\dots,\alpha_n</math> שווים כולם לאפס.

'''טענה 5'''. U סדורה היטב. תהי A תת-קבוצה לא ריקה לפי הלמה של Uצורן, אז יש <math>\ W \in \Omega</math> החותכת את A באופן לא ריקב-X קבוצה מקסימלית, ומכיוון ששנסמן ב-W סדורה היטב, יש לחיתוך <math>\ A \cap W\neq \emptyset</math> איבר מינימלי, mB. נראה שהיא בלתי-m הוא המינימום של A כולהתלויה לינארית (משום שכל הקבוצות ב-X כאלה). נשאר להראות שהיא פורשת את המרחב V. יהי <math>\ a v\in AV</math>. לפי מסקנה 3, a בר-השוואה עם m. אם <math>\ a < m</math> נקבל מטענה 4 שהוקטור v אינו נפרש על-ידי B, אז הקבוצה <math>\ a B \in Wcup \{v\}</math> בסתירה למינימליות בלתי-תלויה לינארית, וזו סתירה למקסימליות של mB. לכן <math>\ m \leq a</math>כל וקטור נפרש על-ידי B, כפי שרצינוומכאן ש-B בסיס.

'''טענה 6'''. <math>\ U \in \Omega</math>. עלינו להראות ש-U מדוייקת, ולאור טענה 5, די להראות שלכל <math>\ u \in U</math> מתקיים <math>\ p(U_{<u}) = u</math>. אבל לפי הגדרת U, יש <math>\ W \in \Omega</math> כך ש-<math>\ u \in W</math>, ואז <math>\ U_{<u} \subset W</math> והטענה נובעת מכך ש-W מדוייקת.== עקרון המקסימום של האוסדורף ===

מכיוון ש-U אוסף השרשראות בקבוצה סדורה היטבחלקית, יש איבר <math>\ p(U) \in X</math>סדור בעצמו על-ידי יחס ההכלה. כצעד אחרון בהוכחה, נראה שגם <math>\ \bar{U} = U\cup\{p(U)\} \in \Omega</math>. ברור ש-<math>\ \bar{U}</math> שרשרת היא '''מקסימלית''' אם אינה מוכלת באף שרשרת. אם <math>\ u \in \bar{U}</math>, יש שתי אפשרויות: אם <math>\ u = p(U)</math> אז <math>\ \bar{U}_{<u} = U</math> וממילא <math>\ p(U) = u</math>; ואחרת <math>\ p(\bar{U}_{<u}) = p(U_{<u}) = u</math> לפי טענה 6. אבל מהגדרת U נובע עכשיו ש-<math>\ \bar{U} \subseteq U</math>, וזו כמובן סתירה (משום ש-<math>\ U < p(U)</math>)אחרת.

'''למה'''. איחוד של שרשרת של שרשראות הוא בעצמו שרשרת. אכן, תהי <math>\ \Lambda == שימושים ==\{A_{\alpha}\}</math> שרשרת של שרשראות (היינו, כל <math>\ A_{\alpha}</math> היא שרשרת, ולכל <math>\ \alpha,\beta</math> מתקיים <math>\ A_{\alpha} \subseteq A_{\beta}</math> או <math>\ A_{\beta} \subseteq A_{\alpha}</math>). יהיו <math>\ x,y \in \bigcup \Lambda</math>, אז יש <math>\ \alpha, \beta</math> כך ש-<math>\ x\in A_{\alpha}, y \in A_{\beta}</math>. נניח, בלי הגבלת הכלליות, ש-<math>\ A_{\alpha} \subseteq A_{\beta}</math>. אז <math>\ x,y \in A_{\beta}</math>, והם נתנים להשוואה משום ש-<math>\ A_{\beta}</math> שרשרת.

ללמה '''עקרון המקסימום של צורן שימושים רבים האוסדורף'''. בכל תחומי המתמטיקה. נדגים כמה מהם. הקורא מוזמן להתמקד באלו העוסקות בתחומים המוכרים לו, ויכול לדלג ללא חששקבוצה סדורה חלקית יש שרשרת מקסימלית.

=== לכל מרחב וקטורי '''הוכחה'''. לפי הלמה, אוסף השרשראות מקיים את תנאי הלמה של צורן, ולכן יש בסיס ===בו איבר מקסימלי.

'''עקרון המקסימום הוא משפט'''. לכל מרחב וקטורי יש בסיסשימושי ביותר, שאפשר להוכיח ממנו את כל הטענות האחרות בדף הזה. למעשה, אפשר להוכיח ממנו בקלות את הלמה של צורן עצמה:

זו '''טענה שאפשר להוכיח באינדוקציה אם '''. הלמה של צורן נובעת מעקרון המקסימום. אכן, קח שרשרת מקסימלית, A. לפי ההנחה יש למרחב בסיס סופילה חסם מלעיל, אבל המקרה הכללי דורש כלים מתקדמים a, שהוא איבר מקסימלי, משום שאם יש <math>\ a < b</math> אז <math>\ A \cup \{b\}</math> היתה שרשרת גדולה יותר.

'''הוכחה'''. יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. נסמן ב-X את משפחת תת-הקבוצות של V שאינן תלויות לינארית (הקבוצה הריקה שייכת ל-X, ולכן X אינה ריקה). נוכיח ש-X סגורה לאיחוד של שרשראות. אכן, תהי C שרשרת ב-X. נתבונן באיחוד <math>\ \bigcup_{A \in C} A</math>. יהיו <math>\ v_1,\dots,v_n \in \bigcup_{A \in C} A</math> אברים של המרחב, כך שקיימים סקלרים <math>\ \alpha_1,\dots,\alpha_n \in F</math> כך ש-<math>\ \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n = 0</math>. לכל <math>\ i=1,\dots,n</math> יש איבר <math>\ A_i \in C</math> כך ש-<math>\ v_i \in A_i</math>; אבל C היא שרשרת, ולכן מבין האברים <math>\ A_1,\dots,A_n</math> יש אחד המכיל את כולם; נאמר שזהו <math>\ A_n</math>. אז <math>\ v_1,\dots,v_n \in A_n</math>, אבל <math>\ A_n</math> בלתי תלויה לינארית (משום שהיא שייכת ל-X), ולכן המקדמים <math>\ \alpha_1,\dots,\alpha_n</math> שווים כולם לאפס.= עקרון הסדר הטוב ===

לפי הלמה של צורן, יש '''משפט'''. על כל קבוצה X קיים סדר טוב. '''הוכחה'''. נסמן ב-X קבוצה מקסימלית<math>\ \Omega</math> את אוסף הזוגות הסדורים <math> (A, שנסמן בR)</math> כאשר <math> A \subseteq X</math> ו-B<math> R \subseteq A \times A</math> יחס סדר טוב על A. היא בלתימגדירים על <math> \Omega</math> יחס סדר: <math> (A,R) \leq (A',R')</math> אם <math> A \subseteq A'</math> ו-תלויה לינארית <math> R = (משום שכל הקבוצות A \times A) \cap R'</math>. לכל שרשרת <math> (A_{\lambda},R_{\lambda})</math> ב-X כאלה<math> \Omega</math>, האיחוד <math> (\bigcup A_{\lambda}, \bigcup R_{\lambda})</math> הוא קבוצה סדורה היטב, ולכן איבר של <math> \Omega</math> שהוא חסם מלעיל של השרשרת. נשאר להראות שהיא פורשת את המרחב Vלפי הלמה של צורן, יש ל-<math> \Omega</math> איבר מקסימלי, <math> (Y,S)</math>. יהי אם יש איבר <math>\ vx \in VX \setminus Y</math>. ; אם הוקטור v אינו נפרש עלנעשיר את <math> Y</math> בקביעה ש-ידי B, אז הקבוצה <math>y \ B leq x</math> לכל <math> y\in Y</math>, נקבל סדר טוב על <math> Y \cup \{vx\}</math> בלתי-תלויה לינארית, וזו סתירה בסתירה למקסימליות של B. לכן כל וקטור נפרש על-ידי B<math> (Y, ומכאן S)</math>. מכאן ש-B בסיס<math> Y = X</math>, וסיימנו.

את כל המשפטים במתמטיקה אפשר, עקרונית, להוכיח באופן פורמלי ממערכת אקסיומות אחת, המתארת תכונות בסיסיות של קבוצות. מערכת האקסיומות האלה, המתארות את תורת הקבוצות, נקראות "הנפוצה ביותר נקראת '''אקסיומות צרמלו-פרנקל" (''', על-שם המתמטיקאים שניסחו אותן). רוב האקסיומות פשוטות בתכלית: קיימת קבוצה ריקה, לכל קבוצה יש קבוצת חזקה, וכדומה. רק אקסיומה על מידת האינטואיטיביות של אחת האקסיומות ברשימה טוענת טענה שאפשר לא לקבל אינטואיטיבית. לאקסיומה זו, הקרויה '''אקסיומת הבחירה''', יש גרסאות שקולות קמו חולקים. בשורש המחלוקת לגבי האקסיומה ניצב הפער שבין קיום למימוש "אלגוריתמי". באחת מגרסאותיה השקולות, האקסיומה מבטיחה קיומה של פונקציה, מבלי לספק כל הסבר כיצד מפעילים את הפונקציה על איברים בתחומה. דבר זה לא היה מקובל במתמטיקה הקלאסית. עם השנים, התקבלה האקסיומה כמעט ללא עוררין, בין השאר בשל נחיצותה לתוצאות חשובות רבותבמתמטיקה. הוכחת הלמה של צורן השתמשה באקסיומת הבחירה. בהנתן האקסיומות האחרות של צרמלו ופרנקל, אפשר (ולמעשה, לא קשה) להוכיח את אקסיומת הבחירה בעזרת הלמה של צורן. לכן, הלמה של צורן שקולה לאקסיומת הבחירה. כיון שהלמה של צורן היא אחת מהן (את השקילות אפשר להוכיח משאר האקסיומותאו אקסיומת הבחירה)חיונית כל כך בכל ענפי המתמטיקה, עם השנים אומצה אקסיומת הבחירה כאקסיומה הכרחית באקסיומטיקה של המתמטיקה. בענפים מתמטיים בעל אופי אלגוריתמי, עדיין נותר הצורך למצוא דרכים שלא להשתמש באקסיומת הבחירה בהוכחות. גם שם, לאקסיומת הבחירה תפקיד במציאת מועמדים למשפטים שלאחר מכן ינסו החוקרים לחפש עבורם הוכחות עם בניה מפורשת. 

((ניסוח, הסבר, הוכחת שקילות ללמה . בהוכחת הלמה של צורןהשתמשנו באקסיומת הבחירה בכך שבחרנו את החסמים <math>\ p(U)</math> לכל U. )) ((הוכחה שאקסיומת הבחירה נובעת מן הלמה של צורן.))