תהי <math>X</math> '''קבוצה סדורה חלקית''' (קבוצה עם יחס סדר חלקי <math>\le</math>). תת-קבוצה <math>C</math> של <math>X</math> הסדורה קוית (כל שני איברים של <math>C</math> ניתנים להשוואה) נקראת '''שרשרת'''.
'''דוגמאות:''' אם <math> x_1< x_2 < \cdots</math> אז <math>\{x_1,x_2,\dots\}</math> היא שרשרת, שבה לכל איבר יש עוקב ישירמיידי. אבל בדרך כלל אין זה המצב. למשל, המספרים הרציונליים מהווים שרשרת שבה אין לאף איבר עוקב ישירמיידי. המספרים הממשיים הם שרשרת שאינה בת מניה.
'''הלמה של צורן'''. תהי <math>X</math> קבוצה לא ריקה, עם התכונה שלכל שרשרת (לא ריקה) ב-<math>X</math> יש חסם מלעיל. אז יש ב-<math>X</math> איבר מקסימלי.
# הטענה כמובן אינה נכונה אם <math>X</math> ריקה. זו אינה נקודה שולית: הלמה של צורן מספקת הוכחת קיום, וכדי להפעיל אותה יש לוודא שקיים איזשהו איבר בקבוצה <math>X</math>; רק אחר-כך מספקת הלמה איבר מקסימלי בקבוצה.
# הכיוון ההפוך ללמה הוא טריוויאלי: איבר מקסימלי של <math>X</math> הוא חסם מלעיל לכל תת-קבוצה.
# אם <math>X</math> קבוצה סדורה לינארית, טענת הלמה נכונה באופן טריוויאלי (משום ש-<math>X</math> עצמה היא שרשרת, ולפי ההנחה יש לה חסם מלעיל, שהוא איבר מקסימלי). הלמה נועדה, איפוא, לטפל במקרים שבהם הסדר של <math>X</math> אינו לינארי.
# במקרה שהקבוצה הסדורה <math>X</math> סופית, אין צורך בלמה: ניקח איבר כלשהו של <math>X</math>. אם הוא מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו. אם האיבר החדש מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו, וכו'. כל עוד איננו נעצרים באיבר מקסימלי, אנו מקבלים איברים חדשים של <math>X</math>. כיון שהקבוצה <math>X</math> סופית, התהליך חייב להפסק לאחר מספר סופי של צעדים, כלומר ניעצר באיבר מקסימלי.
'''הלמה של צורן עבור משפחה של קבוצות:''' תהי <math>X</math> משפחה לא ריקה של קבוצות, הסגורה לאיחוד של שרשראות. אז יש ב-<math>X</math> איבר מקסימלי.
== הוכחת הלמה של צורן ==תובא בהמשך. ראשית, נראה דוגמאות ליישומיה החשובים.
בסעיף זה נוכיח את הלמה של צורן. למעשה נוכיח טענה חזקה יותר. == שימושים ==
=== קבוצות סדורות היטב ===ללמה של צורן שימושים רבים בכל תחומי המתמטיקה. נדגים כמה מהם. הקורא מוזמן להתמקד באלו העוסקות בתחומים המוכרים לו, ויכול לדלג ללא חשש.
אומרים שקבוצה סדורה A היא '''סדורה היטב''', אם לכל תת-קבוצה לא ריקה שלה יש מינימום (היינו איבר שהוא קטן או שווה לכל איבר אחר; לא די בקיומו של איבר מינימלי).=== יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי ===
'''הערהמשפט'''. כל קבוצה סדורה היטב היא שרשרת. אכןלכל שתי קבוצות <math>A, יהיו a,b אברים בקבוצה, אז לקבוצה הלא-ריקה B</math> מתקיים<math>\ |A| \{a,bleq |B|</math> או <math>\ |B| \}leq |A|</math> יש מינימום, שהוא איבר הקטן מן האיבר השני; לכן כל שני אברים ניתנים להשוואה.
'''הערה'''. הוכחה: תהי <math>X</math> משפחת כל תת-קבוצה של קבוצה סדורה היטב הפונקציות <math>f</math> שתחומן מוכל בקבוצה <math>A, גם היא סדורה היטב. (משום שתת-קבוצה של תת-הקבוצה היא גם תת-קבוצה של A, ולכן יש לה מינימום)</math> ותמונתן מוכלת בקבוצה <math>B</math>.
==== רישות ====תרגיל: המשפחה <math>X</math> מקיימת את תנאי הלמה של צורן עבור קבוצות.
תת-קבוצה H של קבוצה סדורה A נקראת '''רישא'''לכן, אם היא "סגורה כלפי מטה", כלומר לכל יש במשפחה <math>\ a \in AX</math> ולכל איבר מקסימלי <math>\ h \in Hf</math>, אם . (מבחינת הכלה) מ <math>\ a < hA</math> אז ל <math>\ a \in HB</math> (בפרט, הקבוצה הריקה היא רישא). נבחן את האפשרויות השונות:
'''הערה'''א. איחוד משפחה של רישות של A תחום הפונקציה <math>f</math> הוא רישאהקבוצה <math>A</math> כולה. אז <math>f\colon A\to B</math> פונקציה חד-חד ערכית, ולכן <math>|A|\le |B|</math>.
לכל ב. תמונת הפונקציה <math>\ a\in Af</math> מסמנים היא הקבוצה <math>\ A_{B<a/math> כולה. אז <math>f^{-1} = \{x colon B\in to A\</math> היא פונקציה (במובן הרגיל) חד-חד ערכית, ולכן <math>|B| \, x < a\}le |A|</math>; זוהי תמיד רישא של A.
'''טענה'''ג. לכל רישא אמיתית H של קבוצה סדורה היטב A קיים נניח בשלילה שאף אחד מבין (א) או (ב) אינו מתקיים. אז יש איברים <math>\ a \in A,b\in B</math> כך ש-<math>\ H = A_{<a}</math>. '''הוכחה'''. קבוצת החסמים אינו בתחום הפונקציה <math>\ H^\circ = \{x \in A | H < x\}b</math> אינה ריקה משום שבשרשרת, הרישא היחידה שאינה חסומה היא הקבוצה כולה (כאן, "ו <math>W < xf</math>" הוא כתיב מקוצר לטענה "אינו בתמונת הפונקציה <math>w<xf</math> לכל .במקרה זה, אפשר להרחיב את הפונקציה <math>\ w\in Wf</math>"). קח לפונקציה <math>\ a f':= f\min H^cup\circ</math> {(קיים משום ש-A סדורה היטבa,b). ברור ש-<math>\ H < a}</math> ולכן , או במלים אחרות, על ידי הגדרת <math>\ H \subseteq A_{<f'(a})=b</math>. מצד שני לכל (ועבור <math>x\ a' in\in A_operatorname{<adom}(f)</math> מתקיים נגדיר <math>\ af' < a(x)=f(x)</math>, ולפי בחירת a פירושו של דבר הוא ש-). נקבל פונקציה המרחיבה ממש את הפונקציה <math>\ a' \not \in H^{\circ}f</math>, כלומר קיים ושייכת ל <math>\ x\in HX</math> כך ש-(בדוק!), בסתירה למקסימליות <math>\ a' \leq xf</math>, ומכיוון ש-H רישא, במשפחה <math>\ a' \in HX</math>.
'''מסקנה'''. תהי A קבוצה סדורה היטב. יש התאמה חד-חד-ערכית ועללסיכום, השומרת סדר, בין A לבין קבוצת הרישות האמיתיות של A. בהכרח מתקיים (במלים אחרות, קבוצת הרישות האמיתיות של A, הסדורה ביחס ההכלה, איזומורפית כקבוצה סדורה ל-א) (ואז <math>|A|\le |B|</math>). או (איבר המינימום של ב) (ואז <math>|B|\le |A עובר לרישא הריקה|</math>).מ.ש.ל
=== הגרסה החזקה סכום ומכפלה של הלמה של צורן עוצמות ===
'''הלמה של צורןמשפט''' (גרסה חזקה). תהי X לכל קבוצה סדורה היטב לא ריקה, עם התכונה שלכל תת-קבוצה סדורה היטב (ולא ריקה) ב-X יש חסם מלעיל. אז יש ב-X איבר מקסימליאינסופית A מתקיים <math>\ |A\times A| = |A|</math>.
גרסה זו חזקה מן הקודמת'''מסקנה'''. אם <math>\max\{|A|, משום שהפעם אנו מסתפקים בהנחה שיש חסם מלעיל לשרשראות שהן סדורות היטב|B|\}</math> עוצמה אינסופית, ולא דורשים את התנאי הזה לכל השרשראותאז <math>\ |A|\cdot |B| = \max\{|A|,|B|\}</math>.
שאר הסעיף מוקדש ל'''הוכחת הלמההוכחה''' (על-פי Pierre-Yves Gaillard). ההוכחה בדרך השלילה. נניח שאין לש-X איבר מקסימלי<math>|A|\leq |B|</math>. לפי ההנחה <math>|B|</math> אינסופית, ולכן <math>\ |B| = 1\cdot |B| \leq |A|\cdot |B| \leq |B| \cdot |B| = |B|</math>.
נסמן ב-<math>\ \Omega</math> את אוסף תת-הקבוצות הסדורות היטב של X'''מסקנה'''. לפי ההנחהלכל שתי קבוצות אינסופיות A, כל B מתקיים <math>W\in |A| + |B| = \Omega</math> היא חסומה מלעיל. יתרה מזו, לפי הנחת השלילה אין ב-W איבר מקסימלי של X, ולכן אפילו הקבוצה <math>max\ W^{\circ} = \{x \in X : W < x\}</math> אינה ריקה. לפי אקסיומת הבחירה|A|, קיימת פונקציה <math>|B|\ p : \Omega \rightarrow X</math>, המתאימה לכל <math>\ W \in \Omega</math> איבר <math>\ p(W) \in W^{\circ}</math>, כלומר לכל W מתקיים <math>\ W < p(W)</math>.
נאמר שתת-קבוצה סדורה היטב W היא '''מדוייקתהוכחה''' אם לכל <math>\ w\in W</math> מתקיים <math>p(W_{<w}) = w</math>. (שימו לב שבכל מקרה האיבר w הוא חסם מלעיל של הרישא <math>\ W_{<w}</math>, ולכן ''יתכן'' נניח ש-<math>|A|\ p(W_{<w})=wleq |B|</math>). ('''הערה'''. השאלה איזו תת-קבוצה W היא מדוייקת תלויה בפונקציה p, שעצם קיומה תלוי בהנחת השלילה על כך שאין ל-X איברים מקסימליים; משנוכיח שהנחה זו מביאה לסתירה, יתברר שאי-אפשר להגדיר את p, וממילא יתפוגג המושג הזה ויאבד את משמעותו). נסמן ב-<math>\ \Omega^*</math> את קבוצת תת-הקבוצות המדוייקות של X. תהי U האיחוד של כל הקבוצות השייכות ל-<math>\ \Omega^*</math>. מטרתנו להוכיח ש-U עצמה היא קבוצה מדוייקת. '''טענה 1'''. לכל <math>\ W,W' \in \Omega^*</math>, אחת מהן היא רישא של השניה. אכן, תהי Q האיחוד של כל הרישות המשותפות ל-<math>\ W,W'</math>; אז Q רישא משותפת בעצמה. אם נניח ש-<math>\ Q \neq W,W'</math>, אז יש <math>\ a\in W, a'\in W'</math> כך ש- <math>\ Q = W_{<a} = W'_{<a'}</math>, אבל אז <math>\ a = p(Q) = a'</math> מכיוון ש-<math>\ W,W'</math> מדוייקות, ויוצא ש-<math>\ Q \cup \{p(Q)\}</math> גם היא רישא משותפת ל-<math>\ W,W'|B|</math>, בסתירה להגדרה של Q. מכאן ש- <math>\ Q = W</math> או <math>\ Q = W'</math>, וזה מוכיח את טענה 1. '''מסקנה 2'''. <math>\ \Omega^*</math> סדורה לינארית. אכן, מכל שני אברים של <math>\ \Omega^*</math>, אחד הוא רישא של השניאינסופית, ולכן מוכל בו. '''מסקנה 3'''. <math>|B|\ U</math> היא שרשרת. אכן, לכל <math>\ a,a' \in U</math> יש <math>\ W,W' \in \Omega^*</math> כך ש-<math>\ a\in W, a' \in W'</math>; ולפי מסקנה 2 אפשר להניח <math>\ W \subseteq W'</math> (או להיפך) ואז <math>\ a,a' \in W'</math>, והרי <math>\ W'</math> שרשרת. '''טענה 4'''. כל <math>\ W \in\Omega^*</math> הוא רישא של U. אכן, <math>\ W \subseteq U</math> לפי ההגדרה של U כאיחוד הקבוצות השייכות ל-<math>\ \Omega^*</math>, ולפי טענה 1, W היא רישא של U. '''טענה 5'''. U סדורה היטב. תהי leq |A תת-קבוצה לא ריקה של U, אז יש <math>\ W \in \Omega^*</math> החותכת את A באופן לא ריק, ומכיוון ש-W סדורה היטב, יש לחיתוך <math>\ A \cap W\neq \emptyset</math> איבר מינימלי, m. נראה ש-m הוא המינימום של A כולה. יהי <math>\ a \in A</math>. לפי מסקנה 3, a בר-השוואה עם m. אם <math>\ a < m</math> נקבל מטענה 4 ש-<math>\ a \in W</math> בסתירה למינימליות של m. לכן <math>\ m | + |B| \leq a</math>, כפי שרצינו. '''טענה 6'''. <math>\ U \in \Omega^*</math>. עלינו להראות ש-U מדוייקת, ולאור טענה 5, די להראות שלכל <math>\ u \in U</math> מתקיים <math>\ p(U_{<u}) = u</math>. אבל לפי הגדרת U, יש <math>\ W \in \Omega^*</math> כך ש-<math>\ u \in W</math>, ואז <math>\ U_{<u} \subset W</math> והטענה נובעת מכך ש-W מדוייקת. מכיוון ש-U סדורה היטב, יש איבר <math>\ p(U) \in X</math>. כצעד אחרון בהוכחה, נראה שגם <math>\ \bar{U} 2 |B| = U\cupmax\{p(U)\} \in \Omega^*</math>. ברור ש-<math>\ \bar{U}</math> היא שרשרת. אם <math>\ u \in \bar{U}</math>2, יש שתי אפשרויות: אם <math>|B|\ u = p(U)</math> אז <math>\ \bar{U}_{<u} = U|B|</math> וממילא <math>\ p(U) = u</math>; ואחרת <math>\ p(\bar{U}_{<u}) = p(U_{<u}) = u</math> לפי טענה 6. אבל מהגדרת U נובע עכשיו ש-<math>\ \bar{U} \subseteq U</math>, וזו סתירה משום שלפי הנחת השלילה <math>\ U < p(U)</math>. == שימושים == ללמה של צורן שימושים רבים בכל תחומי המתמטיקה. נדגים כמה מהם. הקורא מוזמן להתמקד באלו העוסקות בתחומים המוכרים לו, ויכול לדלג ללא חשש.
=== לכל מרחב וקטורי יש בסיס ===
לפי הלמה של צורן, יש ב-X קבוצה מקסימלית, שנסמן ב-B. היא בלתי-תלויה לינארית (משום שכל הקבוצות ב-X כאלה). נשאר להראות שהיא פורשת את המרחב V. יהי <math>\ v\in V</math>. אם הוקטור v אינו נפרש על-ידי B, אז הקבוצה <math>\ B \cup \{v\}</math> בלתי-תלויה לינארית, וזו סתירה למקסימליות של B. לכן כל וקטור נפרש על-ידי B, ומכאן ש-B בסיס.
=== יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי עקרון המקסימום של האוסדורף ===
אוסף השרשראות בקבוצה סדורה חלקית, סדור בעצמו על-ידי יחס ההכלה. שרשרת היא '''משפטמקסימלית'''. לכל שתי קבוצות A,B מתקיים <math>\ |A| \leq |B|</math> או <math>\ |B| \leq |A|</math>אם אינה מוכלת באף שרשרת אחרת.
'''למה'''. איחוד של שרשרת של שרשראות הוא בעצמו שרשרת. אכן, תהי <math>\ \Lambda === סכום ומכפלה \{A_{\alpha}\}</math> שרשרת של עוצמות ===שרשראות (היינו, כל <math>\ A_{\alpha}</math> היא שרשרת, ולכל <math>\ \alpha,\beta</math> מתקיים <math>\ A_{\alpha} \subseteq A_{\beta}</math> או <math>\ A_{\beta} \subseteq A_{\alpha}</math>). יהיו <math>\ x,y \in \bigcup \Lambda</math>, אז יש <math>\ \alpha, \beta</math> כך ש-<math>\ x\in A_{\alpha}, y \in A_{\beta}</math>. נניח, בלי הגבלת הכלליות, ש-<math>\ A_{\alpha} \subseteq A_{\beta}</math>. אז <math>\ x,y \in A_{\beta}</math>, והם נתנים להשוואה משום ש-<math>\ A_{\beta}</math> שרשרת.
'''משפטעקרון המקסימום של האוסדורף'''. לכל בכל קבוצה אינסופית A מתקיים <math>\ |A\times A| = |A|</math>סדורה חלקית יש שרשרת מקסימלית.
'''מסקנההוכחה'''. לכל שתי קבוצות אינסופיות Aלפי הלמה,B מתקיים <math>\ |A|\cdot |B| = \max\{|A|אוסף השרשראות מקיים את תנאי הלמה של צורן,|B|\}</math>ולכן יש בו איבר מקסימלי.
עקרון המקסימום הוא משפט שימושי ביותר, שאפשר להוכיח ממנו את כל הטענות האחרות בדף הזה. למעשה, אפשר להוכיח ממנו בקלות את הלמה של צורן עצמה: '''מסקנהטענה'''. לכל שתי קבוצות אינסופיות הלמה של צורן נובעת מעקרון המקסימום. אכן, קח שרשרת מקסימלית, A. לפי ההנחה יש לה חסם מלעיל, a, שהוא איבר מקסימלי,B מתקיים משום שאם יש <math>\ a < b</math> אז <math>\ |A| + |B| = \maxcup \{|b\}</math> היתה שרשרת גדולה יותר. === עקרון הסדר הטוב === '''משפט'''. על כל קבוצה X קיים סדר טוב. '''הוכחה'''. נסמן ב-<math>\ \Omega</math> את אוסף הזוגות הסדורים <math> (A|,|B|R)</math> כאשר <math> A \subseteq X</math> ו-<math> R \subseteq A \times A</math> יחס סדר טוב על A. מגדירים על <math> \Omega</math> יחס סדר: <math> (A,R) \leq (A',R')</math> אם <math> A \subseteq A'</math> ו-<math> R = (A \times A) \cap R'</math>. לכל שרשרת <math> (A_{\lambda},R_{\lambda})</math>ב-<math> \Omega</math>, האיחוד <math> (\bigcup A_{\lambda}, \bigcup R_{\lambda})</math> הוא קבוצה סדורה היטב, ולכן איבר של <math> \Omega</math> שהוא חסם מלעיל של השרשרת. לפי הלמה של צורן, יש ל-<math> \Omega</math> איבר מקסימלי, <math> (Y,S)</math>. אם יש איבר <math> x \in X \setminus Y</math>; אם נעשיר את <math> Y</math> בקביעה ש-<math> y \leq x</math> לכל <math> y\in Y</math>, נקבל סדר טוב על <math> Y \cup \{x\}</math>, בסתירה למקסימליות של <math> (Y,S)</math>. מכאן ש-<math> Y = X</math>, וסיימנו.
=== יש על-מסנן לא ראשי ===
'''הערה'''. המשפט על קיום בסיס למרחב וקטורי הוא מקרה פרטי: אם M הוא מרחב וקטורי מעל השדה F, כל תת-מרחב חד-ממדי הוא פשוט, ולכן M שווה לתשתית של עצמו. לפי המשפט M הוא סכום ישר של תת-מרחבים חד-ממדיים, כלומר יש לו בסיס.
== הוכחת הלמה של צורן ==
בסעיף זה נוכיח את הלמה של צורן. למעשה נוכיח טענה חזקה יותר.
=== קבוצות סדורות היטב ===
אומרים שקבוצה סדורה <math>A</math> היא '''סדורה היטב''' אם בכל תת-קבוצה לא ריקה שלה יש איבר ראשון (איבר שהוא קטן או שווה לכל איבר אחר בתת-הקבוצה; לא די בקיומו של איבר מינימלי).
'''הערות'''
# כל קבוצה סדורה היטב היא שרשרת. אכן, יהיו <math>a,b</math> אברים בקבוצה, אז בקבוצה הלא-ריקה <math>\{a,b\}</math> יש איבר ראשון, שהוא איבר הקטן מן האיבר השני. לכן כל שני אברים ניתנים להשוואה.
# כל תת-קבוצה של קבוצה סדורה היטב <math>A</math> - גם היא סדורה היטב. (משום שכל תת-קבוצה של תת-הקבוצה היא גם תת-קבוצה של <math>A</math>, ולכן יש בה איבר ראשון).
# שרשרת היא סדורה היטב אם בכל תת-קבוצה לא ריקה שלה יש איבר מינימלי.
==== רישות ====
תת-קבוצה <math>H</math> של קבוצה סדורה היטב <math>A</math> נקראת '''רישא''', אם היא "סגורה כלפי מטה", כלומר כל איבר של <math>A</math> הקטן מאיזשהו איבר של <math>H</math> שייך גם הוא ל <math>H</math>.
בפרט, הקבוצה הריקה היא רישא.
'''הערה'''. איחוד משפחה של רישות של <math>A</math> הוא רישא.
לכל <math>a\in A</math> נסמן <math>\ A_{<a} = \{x \in A : x < a\}</math>. זוהי תמיד רישא של A.
'''טענה'''. לכל רישא <math>H\neq A</math> של קבוצה סדורה היטב <math>A</math> קיים <math>a \in A</math> כך ש-<math>H = A_{<a}</math>.
'''הוכחה'''. כיון ש <math>H</math> סגורה כלפי מטה ו <math>A</math> סדורה קוית, כל איבר של <math>A</math> שאינו ב <math>H</math> הוא חסם מלעיל של <math>H</math>.
בפרט, קבוצת החסמים מלעיל של <math>H</math> אינה ריקה ויש בה איבר ראשון <math>a</math>. מאותה סיבה, קל לראות ש <math>H=A_{<a}</math>.
'''מסקנה'''. תהי <math>A</math> קבוצה סדורה היטב. יש התאמה חד-חד-ערכית ועל, השומרת סדר, בין <math>A</math> לבין קבוצת הרישות האמיתיות של A.
במלים אחרות, קבוצת הרישות האמיתיות של <math>A</math>, הסדורה על ידי היחס <math>\subseteq</math>, איזומורפית כקבוצה סדורה ל-<math>A</math>.
=== הגרסה החזקה של הלמה של צורן ===
'''הלמה של צורן''' (גרסה חזקה). תהי X קבוצה סדורה לא ריקה, עם התכונה שלכל תת-קבוצה סדורה היטב (ולא ריקה) ב-X יש חסם מלעיל. אז יש ב-X איבר מקסימלי.
גרסה זו חזקה מן הקודמת, משום שהפעם אנו מסתפקים בהנחה שיש חסם מלעיל לשרשראות שהן סדורות היטב, ולא דורשים את התנאי הזה לכל השרשראות.
שאר הסעיף מוקדש ל'''הוכחת הלמה''' (על-פי Pierre-Yves Gaillard). ההוכחה בדרך השלילה. נניח שאין ל-X איבר מקסימלי.
נסמן ב-<math>\ \Omega</math> את אוסף תת-הקבוצות הסדורות היטב של X. לפי ההנחה, כל <math>W\in \Omega</math> היא חסומה מלעיל. יתרה מזו, לפי הנחת השלילה אין ב-W איבר מקסימלי של X, ולכן אפילו הקבוצה <math>\ W^{\circ} = \{x \in X : W < x\}</math> אינה ריקה. לפי אקסיומת הבחירה, קיימת פונקציה <math>\ p : \Omega \rightarrow X</math>, המתאימה לכל <math>\ W \in \Omega</math> איבר <math>\ p(W) \in W^{\circ}</math>, כלומר לכל W מתקיים <math>\ W < p(W)</math>.
נאמר שתת-קבוצה סדורה היטב W היא '''מדוייקת''' אם לכל <math>\ w\in W</math> מתקיים <math>p(W_{<w}) = w</math>. (שימו לב שבכל מקרה האיבר w הוא חסם מלעיל של הרישא <math>\ W_{<w}</math>, ולכן ''יתכן'' ש-<math>\ p(W_{<w})=w</math>). ('''הערה'''. השאלה איזו תת-קבוצה W היא מדוייקת תלויה בפונקציה p, שעצם קיומה תלוי בהנחת השלילה על כך שאין ל-X איברים מקסימליים; משנוכיח שהנחה זו מביאה לסתירה, יתברר שאי-אפשר להגדיר את p, וממילא יתפוגג המושג הזה ויאבד את משמעותו).
נסמן ב-<math>\ \Omega^*</math> את קבוצת תת-הקבוצות המדוייקות של X. תהי U האיחוד של כל הקבוצות השייכות ל-<math>\ \Omega^*</math>. מטרתנו להוכיח ש-U עצמה היא קבוצה מדוייקת.
'''טענה 1'''. לכל <math>\ W,W' \in \Omega^*</math>, אחת מהן היא רישא של השניה. אכן, תהי Q האיחוד של כל הרישות המשותפות ל-<math>\ W,W'</math>; אז Q רישא משותפת בעצמה. אם נניח ש-<math>\ Q \neq W,W'</math>, אז יש <math>\ a\in W, a'\in W'</math> כך ש- <math>\ Q = W_{<a} = W'_{<a'}</math>, אבל אז <math>\ a = p(Q) = a'</math> מכיוון ש-<math>\ W,W'</math> מדוייקות, ויוצא ש-<math>\ Q \cup \{p(Q)\}</math> גם היא רישא משותפת ל-<math>\ W,W'</math>, בסתירה להגדרה של Q. מכאן ש- <math>\ Q = W</math> או <math>\ Q = W'</math>, וזה מוכיח את טענה 1.
'''מסקנה 2'''. <math>\ \Omega^*</math> סדורה לינארית. אכן, מכל שני אברים של <math>\ \Omega^*</math>, אחד הוא רישא של השני, ולכן מוכל בו.
'''מסקנה 3'''. <math>\ U</math> היא שרשרת. אכן, לכל <math>\ a,a' \in U</math> יש <math>\ W,W' \in \Omega^*</math> כך ש-<math>\ a\in W, a' \in W'</math>; ולפי מסקנה 2 אפשר להניח <math>\ W \subseteq W'</math> (או להיפך) ואז <math>\ a,a' \in W'</math>, והרי <math>\ W'</math> שרשרת.
'''טענה 4'''. כל <math>\ W \in\Omega^*</math> הוא רישא של U. אכן, <math>\ W \subseteq U</math> לפי ההגדרה של U כאיחוד הקבוצות השייכות ל-<math>\ \Omega^*</math>, ולפי טענה 1, W היא רישא של U.
'''טענה 5'''. U סדורה היטב. תהי A תת-קבוצה לא ריקה של U, אז יש <math>\ W \in \Omega^*</math> החותכת את A באופן לא ריק, ומכיוון ש-W סדורה היטב, יש לחיתוך <math>\ A \cap W\neq \emptyset</math> איבר מינימלי, m. נראה ש-m הוא המינימום של A כולה. יהי <math>\ a \in A</math>. לפי מסקנה 3, a בר-השוואה עם m. אם <math>\ a < m</math> נקבל מטענה 4 ש-<math>\ a \in W</math> בסתירה למינימליות של m. לכן <math>\ m \leq a</math>, כפי שרצינו.
'''טענה 6'''. <math>\ U \in \Omega^*</math>. עלינו להראות ש-U מדוייקת, ולאור טענה 5, די להראות שלכל <math>\ u \in U</math> מתקיים <math>\ p(U_{<u}) = u</math>. אבל לפי הגדרת U, יש <math>\ W \in \Omega^*</math> כך ש-<math>\ u \in W</math>, ואז <math>\ U_{<u} \subset W</math> והטענה נובעת מכך ש-W מדוייקת.
מכיוון ש-U סדורה היטב, יש איבר <math>\ p(U) \in X</math>. כצעד אחרון בהוכחה, נראה שגם <math>\ \bar{U} = U\cup\{p(U)\} \in \Omega^*</math>. ברור ש-<math>\ \bar{U}</math> היא שרשרת. אם <math>\ u \in \bar{U}</math>, יש שתי אפשרויות: אם <math>\ u = p(U)</math> אז <math>\ \bar{U}_{<u} = U</math> וממילא <math>\ p(U) = u</math>; ואחרת <math>\ p(\bar{U}_{<u}) = p(U_{<u}) = u</math> לפי טענה 6. אבל מהגדרת U נובע עכשיו ש-<math>\ \bar{U} \subseteq U</math>, וזו סתירה משום שלפי הנחת השלילה <math>\ U < p(U)</math>.
== קשרים לאקסיומות של המתמטיקה ==