# הטענה כמובן אינה נכונה אם <math>X</math> ריקה. זו אינה נקודה שולית: הלמה של צורן מספקת הוכחת קיום, וכדי להפעיל אותה יש לוודא שקיים איזשהו איבר בקבוצה <math>X</math>; רק אחר-כך מספקת הלמה איבר מקסימלי בקבוצה.
# הכיוון ההפוך ללמה הוא טריוויאלי: איבר מקסימלי של <math>X</math> הוא חסם מלעיל לכל תת-קבוצה.
# אם <math>X</math> קבוצה סדורה לינארית, טענת הלמה נכונה באופן טריוויאלי (משום ש-<math>X</math> עצמה היא שרשרת, ולפי ההנחה יש לה חסם מלעיל, שהוא איבר מקסימלי). הלמה נועדה, איפוא, לטפל במקרים שבהם הסדר של <math>X</math> אינו לינארי.
# במקרה שהקבוצה הסדורה <math>X</math> סופית, אין צורך בלמה: ניקח איבר כלשהו של <math>X</math>. אם הוא מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו. אם האיבר החדש מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו, וכו'. כל עוד איננו נעצרים באיבר מקסימלי, אנו מקבלים איברים חדשים של <math>X</math>. כיון שהקבוצה <math>X</math> סופית, התהליך חייב להפסק לאחר מספר סופי של צעדים, כלומר ניעצר באיבר מקסימלי.
<math>\ |A| \leq |B|</math> או <math>\ |B| \leq |A|</math>.
הוכחה: פונקציה תהי <math>fX</math> שתחומה הוא תת-קבוצה של הקבוצה משפחת כל הפונקציות <math>Af</math> והתמונה שלה היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>B</math> תיקרא '''פונקציה חלקית''' מ <math>A</math> ל <math>B</math>. תהי <math>X</math> משפחת כל הפונקציות החלקיות '''החד-חד ערכיות''' מ שתחומן מוכל בקבוצה <math>A</math> ל ותמונתן מוכלת בקבוצה <math>B</math>.
תרגיל: המשפחה <math>X</math> מקיימת את תנאי הלמה של צורן עבור קבוצות.
לכן, יש במשפחה <math>X</math> איבר מקסימלי <math>f</math>. זוהי פונקציה חלקית חד-חד ערכית מקסימלית (מבחינת הכלה) מ <math>A</math> ל <math>B</math>. נבחן את האפשרויות השונות:
א. תחום הפונקציה <math>f</math> הוא הקבוצה <math>A</math> כולה. אז <math>f\colon A\to B</math> פונקציה חד-חד ערכית, ולכן <math>|A|\le |B|</math>.
ג. נניח בשלילה שאף אחד מבין (א) או (ב) אינו מתקיים. אז יש איברים <math>a\in A,b\in B</math> כך ש <math>a</math> אינו בתחום הפונקציה <math>b</math> ו <math>f</math> אינו בתמונת הפונקציה <math>f</math>.
במקרה זה, אפשר להרחיב את הפונקציה <math>f</math> לפונקציה <math>f':=f\cup\{(a,b)\}</math>, או במלים אחרות, על ידי הגדרת <math>f'(a)=b</math> (ועבור <math>x\in\operatorname{dom}(f)</math> נגדיר <math>f'(x)=f(x)</math>). נקבל פונקציה חלקית חד-חד ערכית (בדוק!) מ המרחיבה ממש את הפונקציה <math>Af</math> ושייכת ל <math>B</math> המרחיבה ממש את הפונקציה <math>fX</math>(בדוק!), בסתירה למקסימליות <math>f</math> במשפחה <math>X</math>.
לסיכום, בהכרח מתקיים (א) (ואז <math>|A|\le |B|</math>) או (ב) (ואז <math>|B|\le |A|</math>). מ.ש.ל
'''מסקנה'''. אם <math>\max\{|A|,|B|\}</math> עוצמה אינסופית, אז <math>\ |A|\cdot |B| = \max\{|A|,|B|\}</math>.
'''הוכחה'''. נניח ש-<math>\ |A|\leq |B|</math>; . לפי ההנחה <math>|B| </math> אינסופית, ולכן <math>\ |B| = 1\cdot |B| \leq |A|\cdot |B| \leq |B| \cdot |B| = |B|</math>.
'''מסקנה'''. לכל שתי קבוצות אינסופיות A,B מתקיים <math>\ |A| + |B| = \max\{|A|,|B|\}</math>.
'''הוכחה'''. נניח ש-<math>|A|\ leq |B|</math>. \max\{אז <math>|AB|</math> אינסופית,ולכן <math>|B|\} \leq |A| + |B| \leq = 2 \max\{|A|,|B|\} = \max\{|A|2,|B|\}=|B|</math>.
=== לכל מרחב וקטורי יש בסיס ===
=== הגרסה החזקה של הלמה של צורן ===
'''הלמה של צורן''' (גרסה חזקה). תהי X קבוצה סדורה היטב לא ריקה, עם התכונה שלכל תת-קבוצה סדורה היטב (ולא ריקה) ב-X יש חסם מלעיל. אז יש ב-X איבר מקסימלי.
גרסה זו חזקה מן הקודמת, משום שהפעם אנו מסתפקים בהנחה שיש חסם מלעיל לשרשראות שהן סדורות היטב, ולא דורשים את התנאי הזה לכל השרשראות.