שינויים

אומרים שקבוצה סדורה <math>A </math> היא '''סדורה היטב''', אם לכל בכל תת-קבוצה לא ריקה שלה יש מינימום איבר ראשון (היינו איבר שהוא קטן או שווה לכל איבר אחרבתת-הקבוצה; לא די בקיומו של איבר מינימלי).

'''הערההערות'''. # כל קבוצה סדורה היטב היא שרשרת. אכן, יהיו <math>a,b </math> אברים בקבוצה, אז לקבוצה בקבוצה הלא-ריקה <math>\ \{a,b\}</math> יש מינימוםאיבר ראשון, שהוא איבר הקטן מן האיבר השני; . לכן כל שני אברים ניתנים להשוואה.

'''הערה'''. # כל תת-קבוצה של קבוצה סדורה היטב <math>A, </math> - גם היא סדורה היטב. (משום שתתשכל תת-קבוצה של תת-הקבוצה היא גם תת-קבוצה של <math>A</math>, ולכן יש לה מינימוםבה איבר ראשון).

תת-קבוצה <math>H </math> של קבוצה סדורה היטב <math>A </math> נקראת '''רישא''', אם היא "סגורה כלפי מטה", כלומר לכל כל איבר של <math>\ a \in A</math> ולכל הקטן מאיזשהו איבר של <math>\ h \in H</math>, אם שייך גם הוא ל <math>\ a < h</math> אז <math>\ a \in H</math> (בפרט, הקבוצה הריקה היא רישא).

'''הערה'''. איחוד משפחה של רישות של A הוא בפרט, הקבוצה הריקה היא רישא.

לכל '''הערה'''. איחוד משפחה של רישות של <math>\ a\in A</math> מסמנים <math>\ A_{<a} = \{x \in A\, | \, x < a\}</math>; זוהי תמיד הוא רישא של A.

'''טענה'''. לכל רישא אמיתית H של קבוצה סדורה היטב A קיים <math>\ a \in A</math> כך ש-נסמן <math>\ H = A_{<a}</math>. '''הוכחה'''. קבוצת החסמים <math>\ H^\circ = \{x \in A | H < : x\}</math> אינה ריקה משום שבשרשרת, הרישא היחידה שאינה חסומה היא הקבוצה כולה (כאן, "<math>W < x</math>" הוא כתיב מקוצר לטענה "<math>w<x</math> לכל <math>\ w\in W</math>"). קח <math>\ a = \min H^\circ</math> (קיים משום ש-A סדורה היטב). ברור ש-<math>\ H < a</math> ולכן <math>\ H \subseteq A_{<a}</math>. מצד שני לכל <math>\ a' \in A_{<a}</math> מתקיים <math>\ a' < a</math>, ולפי בחירת a פירושו זוהי תמיד רישא של דבר הוא ש-<math>\ a' \not \in H^{\circ}</math>, כלומר קיים <math>\ x\in H</math> כך ש-<math>\ a' \leq x</math>, ומכיוון ש-H רישא, <math>\ a' \in H</math>A.

'''טענה'''. לכל רישא <math>H\neq A</math> של קבוצה סדורה היטב <math>A</math> קיים <math>a \in A</math> כך ש-<math>H = A_{<a}</math>.  '''הוכחה'''. כיון ש <math>H</math> סגורה כלפי מטה ו <math>A</math> סדורה קוית, כל איבר של <math>A</math> שאינו ב <math>H</math> הוא חסם מלעיל של <math>H</math>.בפרט, קבוצת החסמים מלעיל של <math>H</math> אינה ריקה ויש בה איבר ראשון <math>a</math>. מאותה סיבה, קל לראות ש <math>H=A_{<a}</math>. '''מסקנה'''. תהי <math>A </math> קבוצה סדורה היטב. יש התאמה חד-חד-ערכית ועל, השומרת סדר, בין <math>A </math> לבין קבוצת הרישות האמיתיות של A. ( במלים אחרות, קבוצת הרישות האמיתיות של <math>A</math>, הסדורה ביחס ההכלהעל ידי היחס <math>\subseteq</math>, איזומורפית כקבוצה סדורה ל-<math>A). (איבר המינימום של A עובר לרישא הריקה)</math>.