הלמה של קנטור

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה למשפטים באינפי

הלמה של קנטור

תהי I_n סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי קיימת נקודה יחידה c הנמצאת בכל הקטעים.

הוכחה

נסמן I_n=[a_n,b_n] . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי a_n מונוטונית עולה וחסומה על-ידי b_1 , ואילו b_n מונוטונית יורדת וחסומה על-ידי a_1 .

לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיון שאורך הקטעים שואף לאפס, \lim |b_n-a_n|=0 ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה

c=\lim a_n=\lim b_n

מקיימת את הדרוש.


נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש- c\notin[a_k,b_k] . לכן c<a_k או c>b_k וכיון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ- c בסתירה. (\lim a_n\ge a_k>c או \lim b_n\le b_k<c)

לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת c\ne d השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות |d-c|>0 בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.