שינויים

[[קטגוריה:אינפי]]== המשפט ==תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}displaystyle\int\limits_a^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

ב)לכל <math>x_{0} x_0\in [a,b]</math> שבו <math>f(x_{0}x_0)</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_{0}x_0)=f(x_{0}x_0)</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-<math>F </math> פונקציה קדומה של <math>f</math> , מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\int_{a}displaystyle\int\limits_a^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

---- == הוכחה ==

נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}displaystyle\int\limits_a^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן

<math>АA(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}displaystyle\int\limits_x^{x+\Deltax} f(t)dt</math>.נתון ש-<math>f </math> חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq le M </math>.

לכן מתקיים<math>\bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=\Bigg|\int_{x}displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x} f(t)dt\Bigg| \leq le M|\Delta x|</math>.

כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .

<math>\lim_{\Delta x \to 0}\bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=0</math> ומכך נובע ש:

<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.

<math>\blacksquare </math>

שלוםכאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_0\in[a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_0)</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_0)</math> . נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt</math> . בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x\to 0</math> , מתקיים בהכרח: <math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\to f(x_0)</math> '''טענה:''' נוכיח כי <math>\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\Bigg]=f(x_0)</math> . נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)dt=f(x_0) \Delta x</math> ולכן <math>\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)</math> . כעת נראה כי הביטוי מתאפס: <math>\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg]=0</math> יהי <math>\epsilon>0</math> . כיון ש- <math>f</math> רציפה, קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|t-x_0|<\delta</math> אז <math>\Big|f(t)-f(x_0)\Big|<\epsilon</math> . כעת נניח <math>|\Delta x|<\delta</math> , לכן לכל t כזה: <math>|t-x_0|\le|\Delta x|<\delta</math> כך ש-<math>\Big|f(t)-f(x_0)\Big|<\epsilon</math> . מכאן ש- <math>\Bigg|\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg|\le\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big|f(t)-f(x_0)\Big|dt< \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt</math> אבל <math>\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt=|\Delta x|\epsilon</math> ולכן  <math>\Bigg|\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg|<\frac{1}{|\Delta x|}\cdot\epsilon|\Delta x|=\epsilon</math> . ולכן הגבול אכן שואף ל- <math>0</math> , מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל- <math>f(x_0)</math> , ולכן, אגף שמאל גם שואף ל- <math>f(x_0)</math> , מכאן נובע <math>A'(x_0)=f(x_0)</math> . <math>\blacksquare</math> ===סעיף ג' ===ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math> , ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math> . נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math> , ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+C</math> עבור <math>C</math> כלשהו. לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+C]-[A(a)+C]=A(b)-A(a)=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx-\displaystyle\int\limits_a^a f(x)dx=</math>  <math>=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx-0=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx</math> ולכן בסך הכל: <math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)</math> . <math>\blacksquare</math>