הפולינום האופייני

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־13:31, 2 באפריל 2012 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (קשר בין פולינום אופייני לע"ע)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הגדרה

תהי A מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:

f_A(x):=\Big|xI-A\Big|

קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה x.

קשר בין פולינום אופייני לע"ע

התנאים הבאים שקולים:

  • x ע"ע של המטריצה A
  • קיים v שונה מאפס כך ש Av=xv
  • קיים v שונה מאפס כך ש Av-xv=0
  • קיים v שונה מאפס כך ש (A-xI)v=0
  • קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית (A-xI)v=0
  • N(A-xI)\neq 0
  • \Big|A-xI\Big|=0
  • f_A(x)=0

אם כך: x הינו ע"ע של A אם"ם x הינו שורש של הפולינום האופייני של A