הפולינום האופייני ותכונות של פולינומים

חזרה לסיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)

הערה: בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, $V$ הוא מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb{F}$, וכן $dim V=n$. בנוסף, $A\in M_n (\mathbb{F})$.

הגדרה:

תהי $A$ מטריצה ריבועית מגודל $n\times n$. $p_A (x)=det(xI_n-A)$ נקרא הפולינום האופייני של המטריצה $A$.

הערות:

1. השורשים של $p_A (x)$ הם ע"ע של $A$.

2. אם $A=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \ast \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}$ מטריצה משולשית (אפשר גם תחתונה וגם עליונה), אזי $p_A(x)=\prod_{i=1}^{n}(x-\lambda_i)$.

3. $p_A(x)$ הוא פולינום מתוקן, כלומר המקדם הראשי / המוביל (לפני החזקה הכי גבוהה) שווה ל-1.

4. $deg(p_A(x))=n$.

5. אם $p_A(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$, אזי $a_0=(-1)^n det(A)$, וכן $a_{n-1}=-tr(A)$.

הערה: למטריצות דומות אותו הפולינום האופייני. בכיוון ההפוך לא נכון.

הגדרה:

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי. נגדיר $p_T(x)=p_A(x)$ כאשר $A$ היא המטריצה המייצגת של $T$ ביחס לבסיס $B$ כלשהו.

הערה: $p_T(x)$ מוגדר היטב בגלל ההערה הקודמת.