הבדלים בין גרסאות בדף "וקטור עצמי"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏דוגמאות)
(←‏א)
שורה 34: שורה 34:
 
קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>:
 
קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>:
  
−
<math>-f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math>
+
<math>f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math>
  
  
שורה 46: שורה 46:
  
 
בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הינו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הינו <math>\{(1,2,1)\}</math>.
 
בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הינו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הינו <math>\{(1,2,1)\}</math>.
 +
 +
===ב===
 +
 +
מצא ע"ע וו"ע של המטריצה <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math> מעל הממשיים ומעל המרוכבים.
 +
 +
 +
'''פתרון.'''
 +
 +
קל לראות כי הפולינום האופייני הינו <math>f_\lambda = x^2+1</math>, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיוון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.
 +
 +
לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הינם <math>\pm i</math> והבסיסים למרחבים העצמיים הינם <math>\{(1,i)\},\{(1,-i)\}</math>

גרסה מ־09:54, 20 באוקטובר 2012

הגדרה

יהי שדה F, ותהי A\in F^{n\times n} מטריצה ריבועית מעל השדה

יהיו 0\neq v\in F^n ו-\lambda\in F כך ש:

Av=\lambda v

אזי v נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של המטריצה A ו\lambda הוא הערך העצמי (ע"ע) המתאים לו.

חישוב ע"ע וו"ע

נביט בf_A הפולינום האופייני של המטריצה A. אזי \lambda הוא ע"ע של A אם"ם f_A(\lambda)=0.

כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.


לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב המרחב העצמי:

V_\lambda=\{v\in F^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)

(הזכרו בהגדרה של מרחב האפס)


דוגמאות

א

מצא את הערכים העצמיים והמרחבים העצמיים של המטריצה

A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix}


פתרון.


קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של A:

f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)


לכן הערכים העצמיים של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הינם 2 ו6.


כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של A.


המרחב העצמי של \lambda שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית (A-\lambda I)v=0.

בסיס למרחב האפס N(A-2I) הינו \{(-1,1,0),(-1,0,1)\} ובסיס למרחב האפס N(A-6I) הינו \{(1,2,1)\}.

ב

מצא ע"ע וו"ע של המטריצה \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} מעל הממשיים ומעל המרוכבים.


פתרון.

קל לראות כי הפולינום האופייני הינו f_\lambda = x^2+1, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיוון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.

לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הינם \pm i והבסיסים למרחבים העצמיים הינם \{(1,i)\},\{(1,-i)\}

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=וקטור_עצמי&oldid=27012