הבדלים בין גרסאות בדף "וקטור עצמי"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
 
(7 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
 
==הגדרה==
 
==הגדרה==
−
יהי שדה F, ותהי <math>A\in F^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית מעל השדה
+
יהי שדה <math>\mathbb F</math> , ותהי <math>A\in{\mathbb F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית מעל השדה
  
−
יהיו <math>0\neq v\in F^n</math> ו-<math>\lambda\in F</math> כך ש:
+
יהיו <math>0\ne v\in{\mathbb F}^n</math> ו- <math>\lambda\in\mathbb F</math> כך ש:
  
 
:<math>Av=\lambda v</math>
 
:<math>Av=\lambda v</math>
  
−
אזי v נקרא '''וקטור עצמי (ו"ע)''' של המטריצה A ו<math>\lambda</math> הוא ה'''ערך העצמי (ע"ע)''' המתאים לו.
+
אזי v נקרא '''וקטור עצמי (ו"ע)''' של המטריצה A ו- <math>\lambda</math> הוא ה'''ערך העצמי (ע"ע)''' המתאים לו.
  
 
==חישוב ע"ע וו"ע==
 
==חישוב ע"ע וו"ע==
−
נביט ב<math>f_A</math> ה[[פולינום האופייני]] של המטריצה A. אזי <math>\lambda</math> הוא ע"ע של A אם"ם <math>f_A(\lambda)=0</math>.
+
נביט ב- <math>f_A</math> [[הפולינום האופייני]] של המטריצה A. אזי <math>\lambda</math> הוא ע"ע של A אם"ם <math>f_A(\lambda)=0</math> .
  
 
כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.
 
כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.
  
  
−
לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב [[מרחב עצמי|המרחב העצמי]].
+
לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב [[מרחב עצמי|המרחב העצמי]]:
  
−
:<math>V_\lambda=\{v\in F^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)</math>
+
:<math>V_\lambda=\{v\in{\mathbb F}^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)</math>
  
 
(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה|מרחב האפס]])
 
(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה|מרחב האפס]])
 +
 +
==דוגמאות==
 +
===א===
 +
מצא את הערכים העצמיים והמרחבים העצמיים של המטריצה
 +
 +
<math>A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix}</math>
 +
 +
 +
'''פתרון.'''
 +
 +
 +
קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math> :
 +
 +
<math>f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math>
 +
 +
 +
לכן '''הערכים העצמיים''' של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הנם  '''2''' ו'''6'''.
 +
 +
 +
כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של <math>A</math> .
 +
 +
 +
המרחב העצמי של <math>\lambda</math> שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>(A-\lambda I)v=0</math> .
 +
 +
בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הנו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הנו <math>\{(1,2,1)\}</math> .
 +
 +
===ב===
 +
מצא ע"ע וו"ע של המטריצה <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math> מעל הממשיים ומעל המרוכבים.
 +
 +
 +
'''פתרון.'''
 +
 +
קל לראות כי הפולינום האופייני הינו <math>f_\lambda = x^2+1</math>, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.
 +
 +
לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הנם <math>\pm i</math> והבסיסים למרחבים העצמיים הינם <math>\{(1,i)\},\{(1,-i)\}</math>

גרסה אחרונה מ־17:48, 27 בפברואר 2016

הגדרה

יהי שדה \mathbb F , ותהי A\in{\mathbb F}^{n\times n} מטריצה ריבועית מעל השדה

יהיו 0\ne v\in{\mathbb F}^n ו- \lambda\in\mathbb F כך ש:

Av=\lambda v

אזי v נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של המטריצה A ו- \lambda הוא הערך העצמי (ע"ע) המתאים לו.

חישוב ע"ע וו"ע

נביט ב- f_A הפולינום האופייני של המטריצה A. אזי \lambda הוא ע"ע של A אם"ם f_A(\lambda)=0 .

כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.


לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב המרחב העצמי:

V_\lambda=\{v\in{\mathbb F}^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)

(הזכרו בהגדרה של מרחב האפס)

דוגמאות

א

מצא את הערכים העצמיים והמרחבים העצמיים של המטריצה

A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix}


פתרון.


קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של A :

f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)


לכן הערכים העצמיים של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הנם 2 ו6.


כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של A .


המרחב העצמי של \lambda שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית (A-\lambda I)v=0 .

בסיס למרחב האפס N(A-2I) הנו \{(-1,1,0),(-1,0,1)\} ובסיס למרחב האפס N(A-6I) הנו \{(1,2,1)\} .

ב

מצא ע"ע וו"ע של המטריצה \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} מעל הממשיים ומעל המרוכבים.


פתרון.

קל לראות כי הפולינום האופייני הינו f_\lambda = x^2+1, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.

לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הנם \pm i והבסיסים למרחבים העצמיים הינם \{(1,i)\},\{(1,-i)\}

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=וקטור_עצמי&oldid=65463