[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
==הגדרה==
יהי שדה <math>\mathbb F</math> , ותהי <math>A\in {\mathbb F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית מעל השדה
יהיו <math>0\neq ne v\in {\mathbb F}^n</math> ו-<math>\lambda\in \mathbb F</math> כך ש:
:<math>Av=\lambda v</math>
אזי v נקרא '''וקטור עצמי (ו"ע)''' של המטריצה A ו- <math>\lambda</math> הוא ה'''ערך העצמי (ע"ע)''' המתאים לו.
==חישוב ע"ע וו"ע==
נביט ב- <math>f_A</math> [[הפולינום האופייני]] של המטריצה A. אזי <math>\lambda</math> הוא ע"ע של A אם"ם <math>f_A(\lambda)=0</math>.
כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.
לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב [[מרחב עצמי|המרחב העצמי]]:
:<math>V_\lambda=\{v\in {\mathbb F}^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)</math>
(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה|מרחב האפס]])
קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>:
<math>f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math>
לכן '''הערכים העצמיים''' של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הינם הנם '''2''' ו'''6'''.
כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של <math>A</math>.
המרחב העצמי של <math>\lambda</math> שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>(A-\lambda I)v=0</math>.
בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הינו הנו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הינו הנו <math>\{(1,2,1)\}</math>.
===ב===
מצא ע"ע וו"ע של המטריצה <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math> מעל הממשיים ומעל המרוכבים.
'''פתרון.'''
קל לראות כי הפולינום האופייני הינו <math>f_\lambda = x^2+1</math>, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיוון כיון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.
לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הינם הנם <math>\pm i</math> והבסיסים למרחבים העצמיים הינם <math>\{(1,i)\},\{(1,-i)\}</math>