שינויים

**לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>NK\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל <math>n>NK</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\varepsilon</math>

*נגדיר ש<math>a_n\to\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>NK\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>NK</math> מתקיים כי <math>a_n>M</math>

*תהיינה תהי <math>a_n,b_n\to 0</math> אזי גם ותהי <math>a_n+b_n</math> חסומה, אזי <math>a_nb_n\to 0</math>

*תהי תהיינה <math>a_n,b_n\to 0</math> ותהי אזי גם <math>a_n+b_n</math> חסומה, אזי <math>a_nb_n\to 0</math> 

*(אי שיוויון המשולש.)תהיינה <math>b_n\to L_b\in \mathbb{R}</math>, <math>a_n\to L_a\in \mathbb{R}</math> אזי*סכום.*<math>a_n+b_n\to L_a+L_b</math>*מכפלה.*<math>a_n\cdot b_n \to L_a\cdot L_b</math>*חלוקה.*אם <math>L_b\neq 0</math> אזי <math>\frac{a_n}{b_n}\to\frac{L_a}{L_b}</math>

*מבחן המנה (הוכחה בסיכום הבא על [[אי-שוויון הממוצעים]]).**תהי סדרה <mathvideoflash>a_nHf14pSb3zDM</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי:***אם <math>1<L\leq\infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math>***אם <math>0\leq L<1</math> מתקיים כי <math>a_n\to 0</math>***מתקיים כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\to L</mathvideoflash>

*דוגמא:**<math>\sqrt[n]{n}\to 1</math>  ====אינדוקציה====

===חזקת אינסוף=== *מסקנה לכל תהי <math>0<a_n\to a</math> אזי:**אם <math>a>1</math> מתקיים כי <math>a(a_n)^n\to\infty</math> ולכל **אם <math>a<1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n\to 0<a/math>*שימו לב כי ייתכן ו<math>1<a_n\to 1</math>, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.  <videoflash>hFa7Nv5o05M</videoflash> ===כלל המנה=== *כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על [[אי-שוויון הממוצעים]]).**תהי סדרה <math>a_n</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי:***אם <math>1<L\leq\infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math>***אם <math>0\leq L<1</math> מתקיים כי <math>a_n\to 0</math>***מתקיים כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\to L</math>  *דוגמאות:**<math>\frac{n}{2^n}\to 0</math>**<math>\sqrt[n]{n}\to 1</math>**עבור <math>a>0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{a}\to 1</math>**<math>\sqrt[n]{n!}\to \infty</math>  <videoflash>Shmc2BtEGBE</videoflash> ===חזקות של גבולות===  *יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to 0</math> אזי <math>a^{b_n}\to 1</math>**רעיון הוכחה: אם <math>a\geq 1</math> אזי <math>a^{-\frac{1}{m}}\leq a^{b_n}\leq a^{\frac{1}{m}}</math> והרי <math>\sqrt[m]{a}\to 1</math> לפי כלל המנה  *יהי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ותהי <math>b_n\to L\in \mathbb{R}</math> אזי <math>a^{b_n}\to a^L</math>**רעיון הוכחה: <math>a^{b_n} = a^{b_n-L}\cdot a^L\to 1\cdot a^L</math>  *תהי <math>a_n\to 1</math> ותהי <math>b_n\to L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to 1</math>**רעיון הוכחה:<math>a_n^{[L]-1}\leq a_n^{b_n}\leq a_n^{[L]+1}</math> לפי חשבון גבולות (כפל) שני הצדדים שואפים ל1. (אם <math>a_n<1</math> אי השיוויון הפוך).  *תהי <math>a_n\to a>0</math> ותהי <math>b_n\to L\in\mathbb{R}</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to a^L</math>**רעיון הוכחה: <math>a_n^{b_n}=\left(\frac{a_n}{a}\right)^{b_n} \cdot a^{b_n} \to 1\cdot a^L</math>  *תהי <math>0\leq a_n\to 0</math> ותהי <math>b_n\to L>0</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to 0</math>**רעיון הוכחה: החל משלב מסויים <math>0\leq a_n^{b_n}\leq \frac{1}{m^{\frac{L}{2}}} </math>    ===סדרות מונוטוניות והמספר e===*כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי. *דוגמא: נביט בסדרה <math>a_1>0,\ a_{n+1}=a_n^2+a_n</math>**כיוון ש <math>a_{n+1}-a_n=a_n^2\geq 0</math> מדובר בסדרה מונוטונית עולה.**אם הסדרה חסומה:***קיים לה גבול סופי <math>a_n\to L</math>***נחשב את גבול שני צידי המשוואה <math>a_{n+1}=a_n^2+a_n</math>***לכן <math>L=L^2+L</math> ולכן <math>L=0</math>***אבל הסדרה עולה וחסומה מלמטה ע"י האיבר הראשון ולכן <math>L\geq a_1</math>***כלומר <math>L=0<a_1\leq L</math> בסתירה.**מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה <math>a_n\to\infty</math>  <videoflash>pTVTkSlxJdI</videoflash>  *[[המספר e]] (הוכחות בעזרת [[אי-שוויון הממוצעים]]).  <videoflash>v7tyKNPU-7I</videoflash>  *<math>2<e<4</math>.  <videoflash>6TohAEqQwsk</videoflash> ===תתי סדרות וגבולות חלקיים=======הגדרת גבול חלקי====*לכל סדרת מקומות <math>k_n\in\mathbb{N}</math> המקיימת לכל <math>n</math> כי <math>k_n<k_{n+1}</math> נגדיר כי <math>a_{k_n}</math> הינה תת סדרה של הסדרה <math>a_n</math>*שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים.  *לדוגמא:**נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>**אזי <math>a_{2n}=(-1)^{2n}=1</math> היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים <math>k_n=2n</math>  *נגדיר ש<math>L</math> הוא גבול חלקי של הסדרה <math>a_n</math> אם קיימת תת סדרה <math>a_{k_n}</math> כך ש <math>a_{k_n}\to L</math>  *טענה - יהי <math>L</math> סופי או אינסופי, אזי:**<math>a_n\to L</math> אם ורק אם לכל תת סדרה <math>a_{k_n}</math> מתקיים כי <math>a_{k_n}\to L</math>  <videoflash>rvdm2_7g-7I</videoflash>  ====משפט בולצאנו-ויירשטראס====*לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.  *משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.  <videoflash>R491ZyCHhBs</videoflash> ====גבול עליון וגבול תחתון==== *תהי סדרה <math>a_n</math>*נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup):**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלעיל אזי <math>\overline{\lim}a_n=\infty</math>**אם <math>a_n</math> חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\overline{\lim}a_n</math> להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה**אחרת, נגדיר <math>\overline{\lim}a_n=-\infty</math>*נגדיר את הגבול התחתון שלה (liminf):**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלרע אזי <math>\underline{\lim}a_n=-\infty</math>**אם <math>a_n</math> חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\underline{\lim}a_n</math> להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה**אחרת, נגדיר <math>\underline{\lim}a_n=\infty</math>   *לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי:*<math>\underline{\lim}a_n\leq L\leq \overline{\lim}a_n</math>  <videoflash>n71Zy87PbEE</videoflash>   *הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון).  <videoflash>zF_5NdFJbAg</videoflash>  *לכל <math>-\infty\leq L\leq \infty</math> מתקיים כי <math>a_n \to L</math> אם ורק אם <math>\underline{\lim}a_n=\overline{\lim}a_n=L</math>  <videoflash>j4C_2yvKpN0</videoflash>   ====תתי סדרות המכסות סדרה====  *אם ניתן לחלק סדרה למספר סופי של תתי סדרות המכסות את כולה, וכולן שואפות לאותו הגבול - אזי הסדרה כולה שואפת לגבול זה.*ייתכן שניתן לחלק סדרה לאינסוף תתי סדרות שכולם שואפות לאותו הגבול, אך הסדרה לא תשאף לגבול זה.  <videoflash>Y0Jpalk44do</videoflash> ===כלל הe=== *תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>(1+a_n)^{\frac{1}{a_n}}\to e</math>  <videoflash>y7yPjqyGOIg</videoflash>  *אם <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}</math>**<math>a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}</math>.**<math>\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e</math> בין אם <math>a_n-1</math> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.**שימו לב שאם <math>a_n=1</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב<math>a_n-1</math> ששווה אפס.  *דוגמא:**<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math>  <videoflash>5V4EmQIdE90</videoflash>

**אם <math>a>1</math> אזי <math>a^\infty=\infty</math>אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף**חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולותסדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף.**סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס. 

===סדרות מונוטוניות והמספר e===*כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.*[[המספר e]] (הוכחות בעזרת [[אי-שוויון הממוצעים]]).*<math>2<e<4</math>.*אם דוגמא: הסדרה <math>a_n=\to\infty</math> אזי <math>\left(1+\fracsqrt{1n}{a_n}\right)^{a_n}\to e</math>**מקיימת כי <math>[a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1</math>, כאשר <math>[a_n]</math> הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל<math>a_n</math>.**<math>\left(1+\fraca_{1}{[a_n]n+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}</math>**שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.*אם <math>a_n\to -\infty</math> אזי <math>\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e0</math>**ראשית <math>\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e}</math> (הוכחה בקישור לערך על המספר e).**כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודםאך היא אינה מתכנסת למספר סופי אלא שואפת לאינסוף.

*אם הגדרה: סדרה <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdotמקיימת את '''קריטריון קושי''' (a_n-1ונקראת '''סדרת קושי''')}</math>אם:**לכל מרחק <math>a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}varepsilon>0</math>.**קיים מקום <math>K\left(1+(a_n-1)in\right)^mathbb{\frac{1N}{a_n-1}}\to e</math> בין אם כך שאחריו לכל זוג מקומות <math>a_n-1</mathm> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.**שימו לב שאם <mathn>a_n=1K</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק במתקיים כי <math>a_n|a_m-1a_n|<\varepsilon</math> ששווה אפס(המרחק בין האיברים במקומות הללו קטן מאפסילון).

*דוגמאמשפט:**<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math>בממשיים, סדרה מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם היא סדרת קושי.

===תתי סדרות וגבולות חלקיים===*תרגיל: תהי סדרה המקיימת לכל n כי <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{1}{2^n}</math> אזי היא מתכנסת למספר סופי.  <videoflash>S56cCgc9U38</videoflash>

 <videoflash>OMJWXoSIlX0</videoflash>  *מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית, חילוק פולינומים).

*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.*מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה ורק אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.<math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math>  <videoflash>KKFyEBxM9yo</videoflash>

*<math>\displaystyle{\lim{h\to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>

**<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)</math>

תהי <videoflash>pBYSLhpsz9g</videoflash>  <videoflash>NkPt_CFvuhY</videoflash>  *ישר:**<math>(x)'=\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h} = 1}</math> ===חוקי הגזירה=== *תהיינה f ,g גזירות ב<math>x_0</math> אזי:**<math>(cf)'(x_0)=cf'(x_0)</math>**<math>(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)</math>**<math>(f\cdot g)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)</math>  <videoflash>iiF0siIWius</videoflash>  תהי g גזירה ב<math>x_0</math> ותהי g f הגזירה ב<math>fg(x_0)</math>:*<math>(gf\circ fg)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(g(x))-g(f(g(x_0))}{x-x_0}</math>

*רוצים לומר ש<math>\frac{g(f(g(x_n))-f(g(f(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{g(f(g(x_n))-f(g(f(x_0))}{fg(x_n)-fg(x_0)}\cdot \frac{fg(x_n)-fg(x_0)}{x_n-x_0}\to gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>.*אמנם <math>fg(x_n)\to fg(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>fg(x_n)\neq fg(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.*אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>fg(a_n)=fg(x_0)</math> אזי <math>\frac{fg(a_n)-fg(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>fg'(x_0)=0</math>.*לכן <math>gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)=0</math>.*כמו כן, <math>\frac{g(f(g(a_n))-g(f(g(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{g(f(g(x_n))-g(f(g(x_0))}{x_n-x_0}\to gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>*סה"כ <math>(gf\circ fg)'(x_0)=gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>.

 *פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).**פונקציה <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל**הפונקציה ההופכית היא <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> ומתקיים כי <math>f(x)=y</math> אם"ם <math>x=f^{-1}(y)</math>  *טענה: אם <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>, אזי <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> רציפה בקטע <math>[c,d]</math>.**הוכחה:**תהי <math>y_0\neq y_n\to y_0</math>, צ"ל ש <math>f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)</math>**יהי גבול חלקי <math>x_n=f^{-1}(y_n)\to L</math>. **אזי <math>f(x_n)פונקציות הופכיות ונגזרתן=y_n\to y_0</math>.**מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים <math>f(x_n)\to f(L)</math>.**לכן <math>f(L)=y_0</math> ולכן <math>L=f^{-1}(y_0)</math>.

*===משפט ערך הביניים===*תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כאשר <math>a<b\in\mathbb{R}</math>.*עוד נניח כי <math>f(a)\leq 0</math> וכן <math>f(b)\geq 0</math>.*אזי קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=0</math>  

<videoflash>pZXEn6KWtMY</videoflash>  ===משפטי ויירשטראס===*משפט פרמהפונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.*פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.  <videoflash>FPlpOmNQiAE</videoflash>  ===משפט פרמה===*אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.**ההפך אינו נכון, ייתכן שהנגזרת תתאפס אך בנקודה לא יהיה קיצון ואף לא פיתול.* <videoflash>Vlsum5uohMo</videoflash> ===משפט רול.===**תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=0</math>*כלומר, פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה כלשהי בקטע הפתוח.* *לפולינום מדרגה n יש לכל היותר n שורשים שונים.* <videoflash>hmdp_jj9fx0</videoflash> ===משפט לגראנז'.ותחומי עלייה וירידה=== *פונקציה f נקראת עולה בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\leq f(x_2)</math>*פונקציה f נקראת יורדת בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\geq f(x_2)</math>  *תהי f רציפה בקטע סגורב<math>[a, b]</math> וגזירה בקטע הפתוח מקבלת את ב<math>(a,b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>*כלומר קיימת נקודה בה השיפוע שווה לשיפוע המיתר בין שתי נקודות הקצה בנגזרת בנק' כלשהיהנקודות בקצוות הקטע.  *תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי f עולה בקטע <math>[a,b]</math> אם ורק אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>*כמו כן, באותם תנאים, אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אזי <math>f(a)<f(b)</math> או שהפונקציה קבועה ב<math>[a,b]</math> ונגזרתה שווה אפס בקטע <math>(a,b)</math>  <videoflash>3DXDneBUnK8</videoflash>  *דוגמא*יהי <math>a\in\mathbb{R}</math> מצאו כמה פתרונות יש למשוואה <math>sin(x)=x+a</math>  <videoflash>zX9XkY_mdDQ</videoflash>  ===משפט קושי (לגראנז' המוכלל.)=== **שתי פונקציות תהיינה f,g רציפות בקטע סגורב<math>[a, גזירות b]</math> וגזירות ב<math>(a,b)</math> כך ש<math>g'\neq 0</math> בקטע הפתוח<math>(a, והנגזרת של האחת אינה מתאפסתb)</math>. *אזי מנת הנגזרות שווה למנת השיפועים בנקקיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>\frac{f' מסויימת.(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>

 <videoflash>PTtcansFGJQ</videoflash> ===קשר בין הנגזרת לפונקציה[[כלל לופיטל]]===*פונקציה גזירה עולה אם"ם הנגזרת שלה גדולה תהיינה פונקציות כך ש <math>f,g\to 0</math> או שווה אפס.<math>f,g\to \infty</math> ונניח כי <math>\frac{f'}{g'}\to L</math> אזי גם <math>\frac{f}{g}\to L</math>  <videoflash>PaDFSrtsOE4</videoflash>  ====משפט סדרי הגודל==== *פונקציה עולה ממש אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפסלכל <math>0<a, ולא מתאפסת על קטע.b</math> מתקיים כי:  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{(e^x)^b} =0} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{\ln^b(x)} =\infty} </math>  ====דוגמאות נוספות==== *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{\sin(\pi x)} =-\frac{1}{\pi}} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x}{sin(x)+2+x} =1} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} xe^{\frac{1}{x}} =\infty} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \sqrt[x]{x} =1} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x\ln(x) =0} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x^x =1} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}+\ln(x) =\infty} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\sin(x)\right)^{\tan^2(x)} =\frac{1}{\sqrt{e}}} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to(-\infty)} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} =-1} </math>   ====הוכחת כלל לופיטל בשני המקרים====  <videoflash>bqLDkGRLUYI</videoflash>  <videoflash>0RjBoccpjo8</videoflash>