שינויים

**לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>NK\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל <math>n>NK</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\varepsilon</math>

*נגדיר ש<math>a_n\to\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>NK\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>NK</math> מתקיים כי <math>a_n>M</math>

*שימו לב כי ייתכן ו<math>1><a_n\to 1</math>, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.

===מבחן המנה=== *מבחן כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על [[אי-שוויון הממוצעים]]).

  <videoflash>6TohAEqQwsk</videoflash> ===תתי סדרות וגבולות חלקיים=======הגדרת גבול חלקי====*אם לכל סדרת מקומות <math>a_nk_n\toin\inftymathbb{N}</math> אזי המקיימת לכל <math>\left(1+\fracn</math> כי <math>k_n<k_{n+1}</math> נגדיר כי <math>a_{k_n}</math> הינה תת סדרה של הסדרה <math>a_n</math>*שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים.  *לדוגמא:**נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>**אזי <math>a_{2n}\right=(-1)^{2n}=1</math> היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים <math>k_n=2n</math>  *נגדיר ש<math>L</math> הוא גבול חלקי של הסדרה <math>a_n</math> אם קיימת תת סדרה <math>a_{k_n}</math> כך ש <math>a_{k_n}\to eL</math>  *טענה - יהי <math>L</math> סופי או אינסופי, אזי:**<math>[a_n]\leq a_n to L</math> אם ורק אם לכל תת סדרה <math>a_{k_n}</math> מתקיים כי <math>a_{k_n}\leq [to L</math>  <videoflash>rvdm2_7g-7I</videoflash>  ====משפט בולצאנו-ויירשטראס====*לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.  *משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.  <videoflash>R491ZyCHhBs</videoflash> ====גבול עליון וגבול תחתון==== *תהי סדרה <math>a_n]+1</math>, כאשר *נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup):**אם <math>[a_n]</math> הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה לאינה חסומה מלעיל אזי <math>\overline{\lim}a_n=\infty</math>.**אם <math>a_n</math> חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\left(1+\fracoverline{1\lim}{[a_n]+1}</math> להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה**אחרת, נגדיר <math>\right)^overline{[a_n]\lim}a_n=-\leq\leftinfty</math>*נגדיר את הגבול התחתון שלה (1+liminf):**אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלרע אזי <math>\fracunderline{1\lim}{a_n}=-\right)^{infty</math>**אם <math>a_n}</math> חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\leq underline{\left(1+lim}a_n</math> להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה**אחרת, נגדיר <math>\fracunderline{1\lim}{[a_n]}=\right)^infty</math>   *לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי:*<math>\underline{[\lim}a_n]+1\leq L\leq \overline{\lim}a_n</math>  <videoflash>n71Zy87PbEE</videoflash>   **שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לeהגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון).  <videoflash>zF_5NdFJbAg</videoflash>  *אם לכל <math>a_n\to -\infty\leq L\leq \infty</math> אזי מתקיים כי <math>a_n \left(1+to L</math> אם ורק אם <math>\fracunderline{1\lim}{a_n}=\right)^overline{a_n}\to elim}a_n=L</math>  <videoflash>j4C_2yvKpN0</videoflash>   ====תתי סדרות המכסות סדרה====  *אם ניתן לחלק סדרה למספר סופי של תתי סדרות המכסות את כולה, וכולן שואפות לאותו הגבול - אזי הסדרה כולה שואפת לגבול זה.*ייתכן שניתן לחלק סדרה לאינסוף תתי סדרות שכולם שואפות לאותו הגבול, אך הסדרה לא תשאף לגבול זה.  <videoflash>Y0Jpalk44do</videoflash> ===כלל הe=== *ראשית תהי <math>0\leftneq a_n\to 0</math> אזי <math>(1-+a_n)^{\frac{1}{na_n}\right)^{n}\to \frac{1}{e}</math> (הוכחה בקישור לערך על המספר e).**כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם. <videoflash>y7yPjqyGOIg</videoflash>

**אם <math>a>1</math> אזי <math>a^\infty=\infty</math>אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף**חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולותסדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף.**סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס. 

*דוגמא: הסדרה <math>a_n===תתי סדרות וגבולות חלקיים===\sqrt{n}</math> מקיימת כי <math>a_{n+1}-a_n\to 0</math> אך היא אינה מתכנסת למספר סופי אלא שואפת לאינסוף.  *הגדרה: סדרה <math>a_n</math> מקיימת את '''קריטריון קושי''' (ונקראת '''סדרת קושי''') אם:*לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל זוג מקומות <math>m>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math> (המרחק בין האיברים במקומות הללו קטן מאפסילון).  *משפט: בממשיים, סדרה מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם היא סדרת קושי.  *תרגיל: תהי סדרה המקיימת לכל n כי <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{1}{2^n}</math> אזי היא מתכנסת למספר סופי.  <videoflash>S56cCgc9U38</videoflash>

 <videoflash>OMJWXoSIlX0</videoflash>  *מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית, חילוק פולינומים).

*<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.*מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה ורק אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.<math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math>  <videoflash>KKFyEBxM9yo</videoflash>

*<math>\displaystyle{\lim{h\to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>

**<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)</math>

תהי <videoflash>pBYSLhpsz9g</videoflash>  <videoflash>NkPt_CFvuhY</videoflash>  *ישר:**<math>(x)'=\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h} = 1}</math> ===חוקי הגזירה=== *תהיינה f ,g גזירות ב<math>x_0</math> אזי:**<math>(cf)'(x_0)=cf'(x_0)</math>**<math>(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)</math>**<math>(f\cdot g)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)</math>  <videoflash>iiF0siIWius</videoflash>  תהי g גזירה ב<math>x_0</math> ותהי g f הגזירה ב<math>fg(x_0)</math>:*<math>(gf\circ fg)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(g(x))-g(f(g(x_0))}{x-x_0}</math>

*רוצים לומר ש<math>\frac{g(f(g(x_n))-f(g(f(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{g(f(g(x_n))-f(g(f(x_0))}{fg(x_n)-fg(x_0)}\cdot \frac{fg(x_n)-fg(x_0)}{x_n-x_0}\to gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>.*אמנם <math>fg(x_n)\to fg(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>fg(x_n)\neq fg(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.*אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>fg(a_n)=fg(x_0)</math> אזי <math>\frac{fg(a_n)-fg(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>fg'(x_0)=0</math>.*לכן <math>gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)=0</math>.*כמו כן, <math>\frac{g(f(g(a_n))-g(f(g(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{g(f(g(x_n))-g(f(g(x_0))}{x_n-x_0}\to gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>*סה"כ <math>(gf\circ fg)'(x_0)=gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>.

 *פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).**פונקציה <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל**הפונקציה ההופכית היא <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> ומתקיים כי <math>f(x)=y</math> אם"ם <math>x=f^{-1}(y)</math>  *טענה: אם <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>, אזי <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> רציפה בקטע <math>[c,d]</math>.**הוכחה:**תהי <math>y_0\neq y_n\to y_0</math>, צ"ל ש <math>f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)</math>**יהי גבול חלקי <math>x_n=f^{-1}(y_n)\to L</math>. **אזי <math>f(x_n)פונקציות הופכיות ונגזרתן=y_n\to y_0</math>.**מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים <math>f(x_n)\to f(L)</math>.**לכן <math>f(L)=y_0</math> ולכן <math>L=f^{-1}(y_0)</math>.

*===משפט ערך הביניים===*תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כאשר <math>a<b\in\mathbb{R}</math>.*עוד נניח כי <math>f(a)\leq 0</math> וכן <math>f(b)\geq 0</math>.*אזי קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=0</math>  

<videoflash>pZXEn6KWtMY</videoflash>  ===משפטי ויירשטראס===*משפט פרמהפונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.*פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.  <videoflash>FPlpOmNQiAE</videoflash>  ===משפט פרמה===*אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.**ההפך אינו נכון, ייתכן שהנגזרת תתאפס אך בנקודה לא יהיה קיצון ואף לא פיתול.* <videoflash>Vlsum5uohMo</videoflash> ===משפט רול.===**תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=0</math>*כלומר, פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה כלשהי בקטע הפתוח.* *לפולינום מדרגה n יש לכל היותר n שורשים שונים.* <videoflash>hmdp_jj9fx0</videoflash> ===משפט לגראנז'.ותחומי עלייה וירידה=== *פונקציה f נקראת עולה בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\leq f(x_2)</math>*פונקציה f נקראת יורדת בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\geq f(x_2)</math>  *תהי f רציפה בקטע סגורב<math>[a, b]</math> וגזירה בקטע הפתוח מקבלת את ב<math>(a,b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>*כלומר קיימת נקודה בה השיפוע שווה לשיפוע המיתר בין שתי נקודות הקצה בנגזרת בנק' כלשהיהנקודות בקצוות הקטע.  *תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי f עולה בקטע <math>[a,b]</math> אם ורק אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>*כמו כן, באותם תנאים, אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אזי <math>f(a)<f(b)</math> או שהפונקציה קבועה ב<math>[a,b]</math> ונגזרתה שווה אפס בקטע <math>(a,b)</math>  <videoflash>3DXDneBUnK8</videoflash>  *דוגמא*יהי <math>a\in\mathbb{R}</math> מצאו כמה פתרונות יש למשוואה <math>sin(x)=x+a</math>  <videoflash>zX9XkY_mdDQ</videoflash>  ===משפט קושי (לגראנז' המוכלל.)=== **שתי פונקציות תהיינה f,g רציפות בקטע סגורב<math>[a, גזירות b]</math> וגזירות ב<math>(a,b)</math> כך ש<math>g'\neq 0</math> בקטע הפתוח<math>(a, והנגזרת של האחת אינה מתאפסתb)</math>. *אזי מנת הנגזרות שווה למנת השיפועים בנקקיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>\frac{f' מסויימת.(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>

 <videoflash>PTtcansFGJQ</videoflash> ===קשר בין הנגזרת לפונקציה[[כלל לופיטל]]===*פונקציה גזירה עולה אם"ם הנגזרת שלה גדולה תהיינה פונקציות כך ש <math>f,g\to 0</math> או שווה אפס.<math>f,g\to \infty</math> ונניח כי <math>\frac{f'}{g'}\to L</math> אזי גם <math>\frac{f}{g}\to L</math>  <videoflash>PaDFSrtsOE4</videoflash>  ====משפט סדרי הגודל==== *פונקציה עולה ממש אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפסלכל <math>0<a, ולא מתאפסת על קטע.b</math> מתקיים כי:  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{(e^x)^b} =0} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{\ln^b(x)} =\infty} </math>  ====דוגמאות נוספות==== *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{\sin(\pi x)} =-\frac{1}{\pi}} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x}{sin(x)+2+x} =1} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} xe^{\frac{1}{x}} =\infty} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \sqrt[x]{x} =1} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x\ln(x) =0} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x^x =1} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}+\ln(x) =\infty} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\sin(x)\right)^{\tan^2(x)} =\frac{1}{\sqrt{e}}} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to(-\infty)} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} =-1} </math>   ====הוכחת כלל לופיטל בשני המקרים====  <videoflash>bqLDkGRLUYI</videoflash>  <videoflash>0RjBoccpjo8</videoflash>