שינויים

 *[[מדיה:22Calc1QnA.pdf| עשרות תרגילי הכנה למבחן עם פתרונות מלאים]]   =מבחנים ופתרונות= =מבחנים של אנליזה למורים==מערכי תרגול עם פתרונות===*[[מבחנים בקורס אנליזה חשבון אינפיניטיסימלי 1 למורים- מערך תרגול|מערכי תרגול]] - אמנם כלל השאלות רלוונטיות, אולם הרמה הכולל של המבחנים נמוכה יותר מקורס זה 

*[[מדיה:Calc1_2016a_examמועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf | מבחן מועד א' החממה תשפ"א]], [[מדיה:Solמועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]]*[[מדיה:מועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד ב' החממה תשפ"א]], [[מדיה:solמועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]]*[[מדיה:21HamamaExmpTest.pdf|פתרון מבחן לדוגמא החממה תשפ"א]]*[[מדיה: Infi1 tihon 2019A.pdf |מבחן מועד א תשע"וט]], [[מדיה: Infi1 tihon 2019Asol.pdf |פתרון]]*[[מדיה:17Infi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1DumbTestSol.pdf|פתרון]]*[[מדיה:17Infi1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestASol.pdf|פתרון]]*[[מדיה:17Infi1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestBSol.pdf|פתרון]]*[[מדיה:Calc1_2016a_exam.pdf | מבחן מועד א' תשע"ו]], [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/Infi2_76aSol.pdf פתרון המרצה], [[מדיה:Calc1_2016a_sols.pdf | פתרון המתרגלים]], [[מדיה:Calc1_2016a_sols_erez.pdf | פתרון ארז שיינר]]*[[מדיה:אינפי_1_-_מועד_א%27_תשעג.pdf|מבחן מועד א' תשע"ג]], [[מדיה:Infi1TashagMoedASol.pdf|פתרון]]*[[מדיה: infi1Exams3.pdf | מבחן מועד ב' תשע"ג]], [[מדיה: infi1Exams3Sol.pdf | פתרון חלקי]]*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה1|מבחן דמה למתמטיקאים תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestAsol.pdf|פתרון]]*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה2|מבחן דמה נוסף תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestBsol.pdf|פתרון]]*[[מדיה: infi1Exams1.pdf | מועד מיוחד תשע"ב]], [[מדיה:tashabspecialtestsol.pdf|פתרון]]*[[מדיה: infi1Exams2.pdf | מועד א' תשע"ב]]**, [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים|פתרון מועד א' תשע"ב]]*[[מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב| מועד ב' למתמטיקאים תשע"בכולל פתרון]]*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'|פתרון מבחן מועד א' החממה תשע"אפתרון]]*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'|פתרון מבחן מועד ב' החממה תשע"אפתרון]]

====טור מקל סלפי (טלסקופי)====

===סיכום בדיקת התכנסות 🖖===

*מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית, חילוק פולינומים).

*<math>\displaystyle{\lim{h\to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>

<videoflash>iiF0siIWius</videoflash>  תהי f g גזירה ב<math>x_0</math> ותהי g f הגזירה ב<math>fg(x_0)</math>:*<math>(gf\circ fg)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(g(x))-g(f(g(x_0))}{x-x_0}</math>

*רוצים לומר ש<math>\frac{g(f(g(x_n))-g(f(g(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{g(f(g(x_n))-g(f(g(x_0))}{fg(x_n)-fg(x_0)}\cdot \frac{fg(x_n)-fg(x_0)}{x_n-x_0}\to gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>.*אמנם <math>fg(x_n)\to fg(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>fg(x_n)\neq fg(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.*אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>fg(a_n)=fg(x_0)</math> אזי <math>\frac{fg(a_n)-fg(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>fg'(x_0)=0</math>.*לכן <math>gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)=0</math>.*כמו כן, <math>\frac{g(f(g(a_n))-g(f(g(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{g(f(g(x_n))-g(f(g(x_0))}{x_n-x_0}\to gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>*סה"כ <math>(gf\circ fg)'(x_0)=gf'(fg(x_0))\cdot fg'(x_0)</math>.  <videoflash>uMPXs9PwxZ4</videoflash>

 *פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).**פונקציה <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל**הפונקציה ההופכית היא <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> ומתקיים כי <math>f(x)=y</math> אם"ם <math>x=f^{-1}(y)</math>  *טענה: אם <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>, אזי <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> רציפה בקטע <math>[c,d]</math>.**הוכחה:**תהי <math>y_0\neq y_n\to y_0</math>, צ"ל ש <math>f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)</math>**יהי גבול חלקי <math>x_n=f^{-1}(y_n)\to L</math>. **אזי <math>f(x_n)פונקציות הופכיות ונגזרתן=y_n\to y_0</math>.**מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים <math>f(x_n)\to f(L)</math>.**לכן <math>f(L)=y_0</math> ולכן <math>L=f^{-1}(y_0)</math>.

*===משפט ערך הביניים===*תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כאשר <math>a<b\in\mathbb{R}</math>.*עוד נניח כי <math>f(a)\leq 0</math> וכן <math>f(b)\geq 0</math>.*אזי קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=0</math>  

<videoflash>pZXEn6KWtMY</videoflash>  ===משפטי ויירשטראס===*משפט פרמהפונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.*פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.  <videoflash>FPlpOmNQiAE</videoflash>  ===משפט פרמה===*אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.**ההפך אינו נכון, ייתכן שהנגזרת תתאפס אך בנקודה לא יהיה קיצון ואף לא פיתול.* <videoflash>Vlsum5uohMo</videoflash> ===משפט רול.===**תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=0</math>*כלומר, פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה כלשהי בקטע הפתוח.* *לפולינום מדרגה n יש לכל היותר n שורשים שונים.* <videoflash>hmdp_jj9fx0</videoflash> ===משפט לגראנז'.ותחומי עלייה וירידה=== *פונקציה f נקראת עולה בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\leq f(x_2)</math>*פונקציה f נקראת יורדת בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\geq f(x_2)</math>  *תהי f רציפה בקטע סגורב<math>[a, b]</math> וגזירה בקטע הפתוח מקבלת את ב<math>(a,b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>*כלומר קיימת נקודה בה השיפוע שווה לשיפוע המיתר בין שתי נקודות הקצה בנגזרת בנק' כלשהיהנקודות בקצוות הקטע.  *תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי f עולה בקטע <math>[a,b]</math> אם ורק אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>*כמו כן, באותם תנאים, אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אזי <math>f(a)<f(b)</math> או שהפונקציה קבועה ב<math>[a,b]</math> ונגזרתה שווה אפס בקטע <math>(a,b)</math>  <videoflash>3DXDneBUnK8</videoflash>  *דוגמא*יהי <math>a\in\mathbb{R}</math> מצאו כמה פתרונות יש למשוואה <math>sin(x)=x+a</math>  <videoflash>zX9XkY_mdDQ</videoflash>  ===משפט קושי (לגראנז' המוכלל.)=== **שתי פונקציות תהיינה f,g רציפות בקטע סגורב<math>[a, גזירות b]</math> וגזירות ב<math>(a,b)</math> כך ש<math>g'\neq 0</math> בקטע הפתוח<math>(a, והנגזרת של האחת אינה מתאפסתb)</math>. *אזי מנת הנגזרות שווה למנת השיפועים בנקקיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>\frac{f' מסויימת.(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>

 <videoflash>PTtcansFGJQ</videoflash> ===קשר בין הנגזרת לפונקציה[[כלל לופיטל]]===*פונקציה גזירה עולה אם"ם הנגזרת שלה גדולה תהיינה פונקציות כך ש <math>f,g\to 0</math> או שווה אפס.<math>f,g\to \infty</math> ונניח כי <math>\frac{f'}{g'}\to L</math> אזי גם <math>\frac{f}{g}\to L</math>  <videoflash>PaDFSrtsOE4</videoflash>  ====משפט סדרי הגודל==== *פונקציה עולה ממש אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפסלכל <math>0<a, ולא מתאפסת על קטע.b</math> מתקיים כי:  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{(e^x)^b} =0} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{\ln^b(x)} =\infty} </math>  ====דוגמאות נוספות==== *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{\sin(\pi x)} =-\frac{1}{\pi}} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x}{sin(x)+2+x} =1} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} xe^{\frac{1}{x}} =\infty} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \sqrt[x]{x} =1} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x\ln(x) =0} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x^x =1} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}+\ln(x) =\infty} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\sin(x)\right)^{\tan^2(x)} =\frac{1}{\sqrt{e}}} </math>  *<math>\displaystyle{\lim_{x\to(-\infty)} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} =-1} </math>   ====הוכחת כלל לופיטל בשני המקרים====  <videoflash>bqLDkGRLUYI</videoflash>  <videoflash>0RjBoccpjo8</videoflash>