חקירת פונקציות

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש


נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):

  1. תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
  2. זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
  3. תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
  4. תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
  5. אסימפטוטות מאונכות
  6. נקודות חיתוך עם הצירים
  7. אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
  8. תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה


הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות

תרגילים

דוגמא 1: f(x)=x^2-6x+5

תחום הגדרה

הגדרה: תהי f(x) פונקציה. תחום הגדרתה היא A - אוסף כל הנקודות בהם f(x) מוגדרת.

דוגמא: תחום ההגדרה של f(x) הוא כל הישר \R .

זוגיות/אי-זוגיות

הגדרה: f(x) תקרא זוגית אם f(-x)=f(x) .

הגדרה: f(x) תקרא אי-זוגית אם f(-x)=-f(x) .

דוגמא: f(-x)=x^2+6x+5\not=\ \pm\ f(x) ולכן f(x) אינה זוגית ואינה אי-זוגית.

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר x הן הנקודות (1,0)\ ,\ (5,0)

החיתוך עם ציר y היא הנקודה (0,5) .

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

הגדרה: תהא f(x) פונקציה. נאמר כי f(x) עולה (יורדת) בתחום U אם

\forall x<y\in U:\ f(x)\le f(y) או \forall x<y\in U:\ f(x)\ge f(y) .

הגדרה: תהי f(x) פונקציה. x_0 תקרא נקודת קיצון - מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה U כך ש-

\forall x\in U:f(x)\le f(x_0) או \forall x\in U:f(x)\ge f(x_0) .

משפט: אם f(x) גזירה בנקודת קיצון x_0 אזי f'(x_0)=0 .

מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של f(x) מספיק לבדוק מתי f'(x)=0 או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.

דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- f(x) :

f'(x)=2x-6 ולכן הנקודה החשודה היחידה היא x_0=3 .

מקס' או מיני'

איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?

  • בדיקת הפונקציה עצמה - הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל: למשל נציב f(0)=5\ ,\ f(3)=-4\ ,\ f(6)=5 ולכן 3 נקודות מיני'.

הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.

  • בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם f'(x)\le0 בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\ge0 אז הפונקציה עולה שם): f'(0)<0\ ,\ f'(4)>0 ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר x=3 נקודת מיני'.

הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של f הוא [3,\infty) ותחום הירידה (-\infty,3] .

הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.

  • מבחן הנגזרת השניה - אם f'(x_0)=0 ומתקיים f''(x_0)>0 (או f''(x)<0) אז x_0 נקודות מיני' (או מקס'):

אצלנו f''(x)=2 ולכן f''(2)>0 .

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

תהא f(x) גזירה בנקודה x_0 אזי נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה/מטה ב- x_0 אם קיימת סביבה U של x_0 כך שלכל x\in U מתקיים:

f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) או f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) .

נאמר כי x_0 נקודת פיתול אם קיימת סביבה U ימנית בה f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) וסביבה שמאלית V בה f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) או להפך.

משפט: f''(x_0)>0 או f''(x_0)<0 אז f(x) קעורה כלפי מעלה/מטה ב- x_0 .

משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם f''(x) אינה קיימת או ש- f''(x)=0 .

דוגמא: f''(x)=2 ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.

אסימפטוטות

הגדרה: אסימפטוטה אנכית ל- f(x) היא קו מהצורה x=a כך שמתקיים \lim\limits_{x\to a}|f(x)|=\infty . אצלנו אין אסימפטוטה אנכית.

הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b המקיים \lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0 או \lim\limits_{x\to-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0 .

איך מוצאים? מתקיים a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x} ואז b=\lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big] .

דוגמא - אצלנו:

\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-6x+5}{x}=\infty

ולכן אין אסימפטוטה אופקית.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty

ציור הפונקציה Example1CStirgul2.gif

דוגמא 2: f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}

תחום הגדרה

x>0 כי \ln(x) לא-מוגדרת עבור x-ים שליליים.

זוגיות/אי-זוגיות

לא שייך בגלל תחום ההגדרה.

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר x הוא (1,0) .

החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה.

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2} לכן יש לה נקודה חשודה ב- x=e

הסימן של f'' נקבע ע"י -x-2x\big(1-\ln(x)\big)=-x\big(3-2\ln(x)\big) .

f(e)<0 ולכן זוהי נקודת מקס'.

תחומי העליה של הפונקציה (0,e) .

תחומי הירידה (e,\infty) .

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

הסימן של f'' נקבע ע"י -x\big(3-2\ln(x)\big) ולכן נקודות חשודות לפיתול הם e\sqrt{e} .

f''(e)<0\ ,\ f''(e^4)>0 ולכן e\sqrt{e}\approx 10 נקודת פיתול.

הפונקציה קעורה כלפי מטה ב- (0,e\sqrt{e}) .

הפונקציה קעורה כלפי מעלה ב- (e\sqrt{e},\infty) .

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית ב- x=0 כיון ש- \lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty .

אסימפטוטה אופקית:

\begin{align}\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1x}{2x}=0\\b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]=\lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0\end{align}

ולכן l(x)=0 אסימטוטה אופקית.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0

ציור הפונקציה Example2CStirgul2.gif

דוגמא 3: f(x)=\dfrac{x^3}{12-x^2}

תחום הגדרה

x\ne\pm2\sqrt3

זוגיות/אי-זוגיות

f(-x)=\dfrac{-x^3}{12-x^2}=-f(x) ולכן f(x) אי-זוגית.

נקודות קיצון

f'(x)=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^{2}} ולכן הנקודות החשודות הן x_0=0,\pm6,\pm2\sqrt3

(נשים לב שהנקודות \pm2\sqrt3 אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).

מקס' או מיני'

נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של 36-x^2 :

\begin{align}f'(-7)<0\\f'(-6)=0\\f'(-4)>0\\f'(-1)>0\\f'(0)=0\\f'(4)>0\\f'(6)=0\\f'(7)<0\end{align}

ולכן משמאל ל-6- הפונקציה יורדת ומימין ל-6- היא עולה, כלומר 6- נקודות מיני'.

6 נקודת מקס'.

0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

דוגמא:

\begin{align}f(x)&=\dfrac{x^3}{12-x^2}\\f'(x)&=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^2}\\f''(x)&=\dfrac{24x(12-x^2)(36+x^2)}{(12-x^2)^4}\end{align}

הנקודות החשודות לפיתול הן 0,\pm2\sqrt3 . הסימן של f''(x) נקבע לפי החלק x(12-x^2) .

נבדוק:

\begin{align}f''(-4)>0\\f''(-1)<0\\f(0)=0\\f(1)>0\\f(4)<0\end{align}

ומכאן מסיקים כי -

בקטע (-\infty,-2\sqrt3) הפונקציה קעורה כלפי מעלה,

בקטע (-2\sqrt3,0) הפונקציה קעורה כלפי מטה,

בקטע (0,2\sqrt3) הפונקציה קעורה כלפי מעלה,

בקטע (2\sqrt3,\infty) הפונקציה קעורה כלפי מטה,

ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).

אסימפטוטות

ל- f(x)=\frac{x^3}{12-x^2} יש 2 אסימפטוטות אנכיות ב- x=\pm2\sqrt3

כי \lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^+}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^+}f(x)=-\infty

\lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^-}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^-}f(x)=\infty

אסימפטוטה אופקית:

\displaystyle\begin{align}a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x(12-x^2)}=-1\\b=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^3}{12-x^2}+x\right]=\lim_{x\to\infty}\frac{12x}{12-x^2}=0\end{align}

באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון x\to-\infty תצא אותו דבר

ולכן l(x)=-x אסימפטוטה אופקית לשני הצדדים.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\ ,\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=-\infty

ציור הפונקציה

Examp3e2CStirgul2.gif

משפטים לסיכום:

1) אם f(x) גזירה בנקודת קיצון x_0 אזי f'(x_0)=0 .

2) מבחן הנגזרת השניה - אם f'(x_0)=0 ומתקיים f''(x_0)>0 אזי x_0 נקודת מיני'.

3) אם f'(x)\le0 בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\ge0 אזי הפונקציה עולה שם.

4) אם f''(x_0)>0 אזי f(x) קעורה כלפי מעלה ב- x_0 .

מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם f''(x) אינה קיימת או ש- f''(x)=0 .