חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג

שאלה 2

סעיף א

$\int\frac{1}{e^x+e^{-x}}\mathrm{d}x$

נציב $t=e^x$ ואז $\mathrm{d}t=e^x\mathrm{d}x=t\mathrm{d}x$

לאחר הצבה נקבל

$\int\frac{1}{e^x+e^{-x}}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{t+\frac{1}{t}}\frac{1}{t}\mathrm{d}t$

$=\int\frac{1}{t^2+1}=\arctan t+c=\arctan e^x+c$

סעיף ב

$\int\frac{x^3+1}{x^3-1}\mathrm{d}x$

על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש

$\frac{x^3+1}{x^3-1}=1+\frac{2}{x^3-1}$

אז נתמקד בחישוב $\int\frac{2}{x^3-1}\mathrm{d}x=\int\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}\mathrm{d}x$

לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש

$\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$

$=\frac{Ax^2+Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C}{(x-1)(x^2+x+1)}$

כלומר קיבלנו מערכת משוואות

$A+B=0, \quad A-B+C=0,\quad A-C=2$

וקל לראות שהפתרון שלה הוא:

$A=\frac{2}{3},\quad B=-\frac{2}{3},\quad C= -\frac{4}{3}$

ברור ש

$\int\frac{\frac{2}{3}}{x-1}\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\ln|x-1|+c$

נותר לחשב את $-\frac{2}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x$

לפי השלמה לריבוע

$\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=\int\frac{x+2}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}x$

נבצע הצבה $t=x+\frac{1}{2}$ (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם

$\int\frac{t+\frac{3}{2}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int\frac{2t+3}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t$

$=\frac{1}{2}\int\frac{2t}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t+\int\frac{\frac{3}{2}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t$

$=\frac{1}{2}\ln|t^2+\frac{3}{4}|+\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\arctan\frac{t}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c$

$=\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{3}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c$

ולכן $-\frac{2}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{3}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c$

אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא

$x+\frac{2}{3}\ln|x-1|-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{3}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c$

ואם מסדרים את זה יוצא

$x+\frac{2}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{3}\ln|x^2+x+1|-\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+c$

שאלה 3

סעיף א

צריך לבדוק אם $\int_1^\infty \sin\sqrt{x}dx$ מתכנס או מתבדר.

הצעה לפתרון: ננסה לחשב את $\lim_{b\to\infty} \int_1^b \sin \sqrt{x} dx$. נסתכל על $\int \sin\sqrt x dx$. ע"י החלפת משתנים נקבל $\sqrt{x}=t \Rightarrow \frac1{2\sqrt x} dx = dt \Rightarrow dx=2tdt$

קיבלנו $\int 2t\sin t dt$. ניתן לראות ע"י אינטגרציה בחלקים ($u=2t, v'=\sin t$) כי האינטגרל הוא $2\sin(t)- 2t\cos t + C$ ולכן מתקיים:

$\lim_{b\to\infty} \int_1^\infty \sin\sqrt x dx = \lim_{b\to\infty} (2\sin\sqrt b - 2\sqrt{b}\cos\sqrt{b})-(2\sin1-2\cos1)$ וזה כמובן לא מתכנס ולכן האינטגרל מתבדר

סעיף ב

צריך לבדוק אם $\int_1^\infty \sin{x^{1.5}}dx$ מתכנס או מתבדר.

הצעה לפתרון: ניעזר בהצבה $u=x^{1.5}$, לכן $du=1.5\cdot x^{0.5} dx=1.5\sqrt[3]{u}dx$, כלומר $dx=\frac{2\cdot du}{3\cdot\sqrt[3]{u}}$. במקרה זה $u$ בתחום $[1,\infty]$ גם כן. לכן:

$\int_1^\infty \sin{x^{1.5}}dx=\frac{2}{3}\int_1^\infty \frac{\sin{u}}{\sqrt[3]{u}}du$, והאינטגרל שהתקבל מתכנס על פי דיריכלה.

שאלה 4

הפרכה: ניקח את $f_n(x)=\left\{\begin{matrix} \frac1n,\ \ x=0\\ 0 \ \ \ \ \ \ \mathrm{else} \end{matrix}\right.$ וההתכנסות היא במ"ש (קל להוכיח).

עוד פונקציה שמפריכה היא $f_n(x)=\frac{D(x)}{n}$ כאשר $D(x)$ היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת, $D(x)=\left\{\begin{matrix} 1,\ \ x\in \mathbb{Q}\\ 0 \ \ \ \ \ \ \mathrm{else} \end{matrix}\right.$

שאלה 6

נזכור כי הנוסחה לחישוב אורך עקומה של $f(x)$ בקטע $[a,b]$ היא $\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx$ ולכן אנחנו מחפשים את $\int_0^{\frac{\pi}6}\sqrt{1+((\ln\cos(x))')^2}dx$.

מתקיים: $\frac{d}{dx}\ln\cos(x) = \frac{-\sin(x)}{cos(x)}=-\tan(x)$.

כמו כן, $1+(-\tan(x))^2=1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac1{\cos^2(x)}$.

נראה כי $\forall x \in [0,\frac{\pi}6] :\cos(x)>0$ ולכן $\sqrt{\frac{1}{\cos^2(x)}}=\frac1{\cos(x)}$ ולא צריך לדאוג לגבי הסימן המכנה.

נרצה לחשב כעת את $\int_0^{\frac{\pi}6} \frac{1}{\cos(x)} dx$