טור מתכנס בהחלט

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט

טור המתכנס בהחלט - מתכנס

הוכחה

יהי טור \sum a_n המתכנס בהחלט. נסמן:

p_n=\frac{|a_n|+a_n}{2}
q_n=\frac{|a_n|-a_n}{2}

קל לראות כי:

p_n+q_n=|a_n|
p_n-q_n=a_n
0\leq p_n,q_n


כיון שהטור \sum |a_n| מתכנס לפי הנתון, וכיון ש- p_n,q_n\le |a_n| ,

לפי מבחן ההשוואה הטורים החיוביים \sum p_n,\sum q_n מתכנסים.


הפרש טורים מתכנסים הוא מתכנס, ולכן גם \sum p_n-q_n=\sum a_n מתכנס.