לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2

שימוש בהוכחות מתרגילים קודמים

אם פתרנו בעיה כלשהי באחד מהתרגילים, מותר להשתמש בפתרון בתרגיל אחר? למשל, בתרגיל 2 (בשבוע שעבר) הוכחנו שכל $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\mathbb F^{2\times 2}$ הפיכה אם"ם $\Delta=ad-bc\not=0$, ואז $A^{-1}=\frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$. האם מותר להשתמש במשפט זה בתרגיל 3 (מבלי להוכיח, רק לכתוב שהוכחנו בתרגיל 2)? תודה, -אור שחף, שיחה, 22:05, 8 באוגוסט 2010 (IDT)

תשובה

כן, אין צורך להוכיח את זה שוב.

מטריצה מחלקת אפס

הגדרת איבר מחלק אפס $a \neq 0$ בשדה היא שקיים $b \neq 0$ כך ש $a \cdot b = 0$.

לעומת זאת, הגדרת מטריצה $A$ מחלקת 0 היא שקיימת מטריצה $B \neq 0$ כך ש $A \cdot B=0$.

כלומר כל מטריצה 0 מחלקת 0 אבל אף איבר 0 הוא לא מחלק 0?

תשובה

בשדה אין כזה דבר מחלק אפס בכלל. אם היה מחלק אפס זה לא היה שדה - כי למחלקי אפס אין הופכי.

כעת, מחלקי אפס (בכל מבנה אלגברי בו יש חיבור וכפל) הם זוג $a,b\neq 0$ כך ש $ab=0$. כלומר, שניהם שונים מאפס.

על מנת להראות שאיבר אינו הפיך מספיק להראות שקיים איבר שונה מאפס שאם תכפול בו תקבל אפס. (כי אז או שאתה מחלק אפס או שאתה אפס. כך או כך ההוכחה שאין הופכי תקפה.)

המשך שאלה

תודה על התשובה המהירה מאוד. אבל לפי עמוד 20 בחוברת, גם מטריצת ה-0 היא מחלקת 0. זה לא סותר את מה שאמרת? הרי מטריצות הן מבנה אלגברי עם חיבור וכפל.

אני מניח שזה עניין של הגדרה - ויקיפדיה מסכימה עם ההגדרה שלי. לצורך הקורס - המרצים קובעים.

תודה. אם כך, אולי ההגדרה של מחלק 0 בהקשר של שדות היא פשוט מצומצמת יותר בשביל שיהיה ניתן להשתמש בה כדי לשלול שדה. בכל אופן, אשמח להסבר של מרצה/מתרגל.

אתה מדבר עם מתרגל (ארז). בכל מקרה מחלק אפס זו הגדרה של חוג שזה מה שכיניתי מבנה אלגברי עם חיבור וכפל. שדה הוא דוגמא ספציפית של חוג. קורה שמרצים מגדירים דברים טיפה שונה - בעיקר כשההבדל לא מהותי. אבל לצורך שימוש בקורס הזה - ההגדרה שלמדתם בהרצאה והמרצים הם שקובעים.

פתרון תרגיל 2

האם אתם יכולים להסביר את הפסקה השנייה לפני האחרונה בעמ' השני (מתחילה ב"בסוף" ונגמרת ב"אפס")

תשובה

אני מוכיח שם ש

$A_{n-1}A_1=0$ מכיוון שכל מכפלות המטריצות הבסיסיות מתאפסות. ולפי הנתון $A_n=0$

והרי $(A_1)^n=(A_1)^{n-1}A_1=A_{n-1}A_1$

ולכן $(A_1)^k=0$ לכל $k \geq n$ ולכן גם $(A_1)^k=A_k$.

עניתי?

כן, תודה רבה!

אינדוקציה

באינדוקציה שבתוך אינדוקציה, מותר להשתמש בהנחה של האינדוקציה החיצונית בנוסף להנחה של האינדוקציה הפנימית, נכון? תודה מראש!

תשובה

נכון.

שאלה 6.19 סעיף ב'

לא הבנתי בדיוק מה אני צריכה להראות.. לקחת את A ולהכפיל אותה במטריצה אחרת ככה שאני מקבלת את מטריצת האפס? אבל מה אם A=0?

תשובה

צריך להוכיח שA אינה הפיכה - זה מה שצריך להראות. הרמז אומר שאפשר לעשות את זה באמצעות העובדה שכפל במטריצה כלשהי שונה מאפס נותן אפס. נניח וA=0, האם יכול להיות שA הפיכה? (רמז: התשובה + הוכחה כבר נמצאת בדף הזה).

אוקיי, הבנתי. תודה :)

שאלה 6.20

לא ממש הבנתי את השאלה- מבקשים בסעיף א' להראות שהמט' A מאפסת את הפולינום- כלומר אני מניח שצריך להציב במקום A את המטריצה. אבל אז יוצא חיבור של מטריצה עם מספר- $A^2$ זוהי מטריצה ו-$tr(A)x$ זוהי מטריצה- אז מתקבל חיבור של מטריצה עם מספר?

תשובה

1. עניתי בדיוק על זה בשיעור והדגשתי שאת הקבוע כופלים במטריצה היחידה

2. כבר שאלו את זה בדף הזה למטה

מצטער ותודה בכל זאת.

אין בעייה :)

שאלה 5.12 ב'

לא הבנתי מה בדיוק יש פה להוכיח, הרי זה נובע ישירות ממה שהוכחנו בסעיף א', ללא כל שלב ביניים, מלבד הסימון שהם מציעים לסמן. אז מה פה דורש הוכחה?

תודה על התשובה המהירה. אבל אחרי ההצבה של $C=A^k$ כבר אין חזקה... זה יוצא שצ"ל ש: $B^m*C=C*B^m$ וזה ממש תואם לנוסחה שהוכחתי בסעיף א'. אז זה כאילו שאין לשתי המטריצות חזקה, ומה צריך להוכיח בעצם?

יפה אתה רק צריך להסביר את מה שרשמת וזו ההוכחה. לא צריך לעבוד קשה מידי.

תשובה

אתה צריך להסביר כיצד זה נובע. ישירות זה לא נובע, כי פה לשתי המטריצות יש חזקה בניגוד לסעיף הראשון שם יש חזקה רק למטריצה אחת.

שאלה 5.16

האם יש צורך לנמק מדוע $R(A_1)_i = e_{i+1} \ \ \ , \ \ \ C(A_k)_j = e_{j-k}$

תשובה

לא, אפשר פשוט לציין את זה. רק תיקון על הסימון: $C_j(A_k),R_i(A_1)$

תודה..

תרגיל 1 בקובץ המרוכבים

שלום רב, פתרתי את תרגיל 1 בקבוץ המרוכבים ונראה לי שיש טעות בפתרון שלכם. נתון המרוכב $w=i-\sqrt{3}$, מכאן שעפ"י סימון במרוכבים $z=a+bi$ אז אמור להתקיים $a=-\sqrt{3}$ וגם $b=1$. לכן מתקיים: $tg(\alpha) =\frac{-1}{3^\frac{1}{2}}$ ומשום שהמספר המרוכב ברביע השני אז $\alpha=\frac{5\pi}{6}$ ולא $\frac{4\pi}{3}$ כלומר $w=2cis(\frac{5\pi}{6})$ (ד"א: זווית של $\frac{4\pi}{3}$ מייצגת רביע שלישי ולא רביע שני כפי שכתבתם). כמו כן יש לי מחשבון שמחשב מרוכבים, וגם לפיו מתקיים ש-$w=2cis(\frac{5\pi}{6})$ (כלומר שאכן יש לכם טעות בתשובות), כמובן שהדבר בהנחה שהקלדתי נכון לתוכו. האם באמת יש טעות בתשובות או שלא? ואם הטעות היא שלי - מה עשיתי לא בסדר?

כמובן שבמקרה שבו הטעות היא שלכם, אזי גם צריך לערוך את התשובה לשאלה 2 שמתבססת על התשובה של שאלה 1...

תודה מראש, גל.

תשובה

כן, בלבלתי שם בין הa והb. אני אפרסם תיקון, תודה. (הרי קוסינוס הזוית שווה ל$\frac{a}{r}$ ולא הסינוס)

התרגיל במרוכבים

בשביל מה הוא שם? סתם תרגול?

כן, אחרת לא היו מעלים לזה פתרונות...

6.20

מה צריך להוכיח בב'? שהמטריצה ב-6.19 הפיכה אם רק אם $\Delta$ שונה מ-0? האם צריך להוכיח גם מהי $A^{-1}$? האם מותר לי להשתמש ב $A^{-1}$ הנתון כדי להוכיח או שצריך להראות אותו בנפרד?

תשובה

כן צריך להוכיח שהיא הפיכה אם"ם $\Delta\neq 0$, ולהראות שההופכית היא זו. אסור להניח שזה ההופכי וככה להוכיח (הרי עשינו את זה בתרגיל הקודם) צריך להראות כיצד בעזרת סעיף א' ניתן למצוא את ההופכית (שכמובן תהיה אותה הופכית כמו בתרגיל הקודם - הופכית יש רק אחת).

שאלה 6.20

בסעיף ג' צריך להוכיח ביטוי מסויים, ונותנים רמז כלשהו לגבי ההוכחה, הם אומרים שיש מטריצה A עם עקבה 0. מה זה עקבה 0?

תשובה

עקבה זה trace בעברית. כלומר $tr(A)=0$

שאלה

כדי להוכיח ששתי מטריצות הן מטריצות מתחלפות(AB=BA) מספיק להוכיח ששניהן מטריצות מסדר $\ n \times n$ מעל שדה $\mathbb{F}$ או שצריך להוכיח עוד משהו?(ואם כן מה?)

כן, שהמכפלה שלהן שווה, כי מה שרשמת אומר שניתן למצוא את המכפלה AB ואת המכפלה BA אבל זה לא אומר שהן שוות בהכרח...

אבל על איזו שאלה מדובר, בחלק מהשאלות יש נתונים שכאשר את המשתמש בהם אז אתה לא צריך להוכיח בדרך המכוערת ש-AB=BA אלא אתה אפילו לא צריך לפתוח את מכפלת המטריצות בעזרת הנותנים הללו.

נגיד בשאלה 5.8 שנתון שAB סימטרית איך זה עוזר לי חוץ מזה שזה אומר ששניהן מסדר $\ n \times n$ מעל שדה $\mathbb{F}$ ?

תשובה

בוודאי לא מספיק להראות ששתיהן ריבועיות מאותו גודל. הרי ידוע שתכונת החילופיות אינה מתקיימת באופן כללי במטריצות, ראינו דוגמאות סותרות במקרה 2x2 בשיעור.

בתרגיל הספציפי, הנתון הוא על סימטריות. מהי ההגדרה של סימטריות? צריך להשתמש בדברים שקשורים לסימטריות על מנת לפתור את התרגיל.

הנתון לגבי הגודל הוא על מנת שהכל יהיה מוגדר כמו שצריך.

שאלה 6.19

אני בעצם צריך להראות ש-A היא מחלקת אפס בכדי שהטענה בשאלה תתקיים (וכמובן להראות מדוע מחלק אפס אינו הפיך). האם מותר לי להביא מטריצה כלשהי ולהראות ש-A מחלקת אפס שלה (כמובן מטריצה שאכן מקיימת את הטענה) או שעלי למצוא את המטריצה ש-A היא מחלקת האפס שלה (כלומר לעשות מערכת משוואות עם 4 משתנים)? תודה מראש.

נ.ב. מטריצת אפס חייבת להיות ריבועית, נכון?

תשובה

• לדעתי אתה חייב להראות ספציפית למטריצה הזאת כלומר להראות שכאשר $\Delta=0$ אז A*A=0 ואז מכיוון ש-$A\neq 0$ אז A מחלקת 0. כמובן שכשאתה כופל את המטריצות אתה משתמש בתכונה ש$\Delta=0$ יש מטריצות מחלקות אפס שבריבוע אינן שוות לאפס. לדוגמא קח a=1 וכל השאר אפס.
• לגבי השאלה השנייה אני לא בטוח אבל מטריצת אפס לא חייבת ליהיות ריבועית-כל מטריצה שכל איבריה הם 0.

מה הכוונה ב-המטריצה שA מחלקת אפס שלה עם הא הידיעה? מספיק להביא מטריצה כלשהי שA היא מחלקת אפס שלה. הוכחתי למטה למה זה אומר שהמטריצה אינה הפיכה.

מטריצת אפס היא כל מטריצת אפסים. --ארז שיינר 13:12, 6 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה 6.20 - פולינום

"מאפסת את הפולינום" משמע ש-X של הפונקציה צריך להיות המטריצה A?

האם "התרגיל הקודם| משמעו סע' א' או ב' או שניהם?

תשובה

למדנו איך להציב מטריצה בפולינום. יהי פולינום $f=a_nx^n+...+a_1x+a_0$ ותהיי מטריצה ריבועית A. אזי $f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I$ היא מטריצה ריבועית באותו גודל כמו A.

שאלה 5.12

מה הכוונה ב-Ak? (ואיך כותבים את הסימנים של math-type באקספלורר?) תודה עם החלק הראשון של השאלה הסתדרתי (לא זכור לי שזה נלמד בכיתה, בכל אופן).

תשובה

$A^k=A\cdot A \cdots A$, ראינו את זה בכיתה בשיעור הראשון שלמדנו שדות, זה ההגדרה של חזקה טבעית.

על מנת לדעת איך לכתוב מתמטיקה תסתכל בדף העזרה של האתר, ותעשה [עריכה] על תשובות ושאלות עם מתמטיקה ותבין.

שאלה

אם אני יודע ש-$AB=(BA)^{t}$(כמובן ש-A,B מטריצות) אז אני יכול להגיד ש-AB הפיכה? אני צריך להוכיח את זה? עוד שאלה לגבי זה, אם $A=B$ אז אני יכול להגיד ש$A^{t}=b^{t}$

תשובה

ממש ממש לא. דוגמא נגדית: $(BA)^t=AB=0$ לא הפיכה כלל. אין קשר בין הפיכות לבין שחלוף.

אם $A=B$ אזי כמובן ש$A^t=B^t$. באופן כללי אם שני דברים הם שווים, גם פעולות עליהם נותנות תוצאה שווה (מתוך תכונת הח"ע של פונקציות).

שאלה כללית

אם הבוחן יהיה ברבע ל12 ואז הבוחן שעה ועוד רבע שעה תוספת זמן אז ייגמר ב1...

יש שיעור רגיל או שמשתחררים??

תשובה

יש תרגול אחרי כן ב13:00 כרגיל. הבוחן יהיה 45 דקות ועוד רבע שעה תוספת זמן.

שאלה 5.3ב'

לדעת יש טעות בשאלה, תקנו אותי אם אני טועה. הטענה שצריך להוכיח היא שכל מטריצה סקלרית היא מטריצה אלכסונית, אבל לא כל מטריצה אלכסונית היא מטריצה סקלרית למשל עבור $\boldsymbol{\alpha}=0$(אני רק לא בטוח שאם $\boldsymbol{\alpha}$ הוא סקלר אז הוא יכול ליהיות שווה 0, על זה מתבססת הטענה שלי פה). אם כן אז המטריצה $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ היא סקלרית אבל לא אלכסונית

תשובה

• סקלר הוא איבר כלשהו מהשדה. אפס איבר בשדה ולכן הינו סקלר
• מה לא אלכסוני במטריצה הזו? האם יש לה איברים שאינם אפסים ואינם על האלכסון?

אה, נכון טעות שלי, תודה!

שאלה

האם מותר לי להגיד שאם $-A=A$ אז $2A=0$ ואז $A=0$ ?

כן...

תשובה

מעל הממשיים מותר לאמר את זה. מעל $\mathbb{Z}_2$ אסור למשל.

למשל ב-שאלה 4.6א' מותר להגיד את זה? והאם אני חייב להוכיח?

הבנתי שאתה מתכוון לשאלה הזו מן הסתם :) כן צריך להוכיח למה זה נכון.

האם אני יכול להגיד פשוט שהאיבר $a_{ij}=-a_{ij}$ ואז $a_{ij}=0$ כלומר כל איבר במטריצה שווה ל-0 ואז $A=0$

כן אבל אתה גם צריך להסביר את זה - למה התכונה הזו נכונה בשדה הממשיים.

כי אם מכפלת שני מספרים ממשיים שווה 0 אז אחד מהם שווה 0(כי אין מחלקי 0 בשדה) ואז בגלל ש-$2\neq 0$ אז $a_{ij}=0$? האם זה הסבר מספק או שצריך להראות את זה בסיגמה?

אולי אפשר פשוט לכתוב ש-A=-A גורר 2A=0, ובגלל שבשדה הממשיים אין מחלקי אפס אז 2=0 או A=0, אבל 2 שונה מ-0 ולכן A=0?

נכון, אבל תשים לב מתי אתה מסתכל על מטריצות ומתי על איברים מהשדה.

שאלה על מט' מחלקת אפס

למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!

תשובה

נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו $a,b\neq 0$ שני איברים שונים מאפס, כך ש

$ab=0$.

נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל

$a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0$

ולכן $b=0$ בסתירה להנחה.

תודה.

תרגיל 3.2 (התר' הראשון)

פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)

תשובה

למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?

כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..

צודק :) אז אמרתי.

מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.

צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות $C_i(AB)=AC_i(B)$ (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא $Ax=\sum_i x_iC_i(A)$ כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מאותה העמודה).

ואיך זה עוזר לפתור בקלות? (גם אני פתרתי עם 12 משוואות ב-12 נעלמים...)

תחשוב... ואם לא תצליח לבד תראה כאשר נפרסם את הפתרונות.

אני אנסה לחשוב על זה שוב, אבל בינתיים אני עדיין לא יודע לפתור את התרגיל הזה בצורה אחרת למרות הרמזים. אפשר רמז קצת עבה יותר? תודה.

תראה את הקשר בין עמודות המטריצה המקורית לעמודות המטריצה שאתה רוצה לקבל.

תודה, הצלחתי.

שאלה

לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?

תשובה

5.3 כל סעיף בנפרד

5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:

$A_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$, $A_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$, $A_3= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$, $A_4= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$,

$A_5=0$

וכדומה.