לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3

שאלה 6.30

1. האם כל המטריצות שם הפיכות? (כך זה נראה בהוראת השאלה) בסעיף א יצא לי שורת אפסים?

2. שאלה 6.41: האם כדי להוכיח ש A הפיכה, מספיק להראות שמטריצה A כפול משהו שווה ל I? תודה לעונה

תשובה

1. טעות חישוב

2. למדנו שאם A ריבועית וקיימת B כך שAB=I אזי A הפיכה וB ההופכית שלה.

שאלה 6.30

לא הבנתי את סעיף ד'... מה זו מטריצה נלוית? מה אמורים לעשות איתה בכלל?

תשובה

זו המטריצה שרשומה בסעיף.. וצריך להפוך אותה.

1 שונה מאפס

"לגבי השאלה שנשאלה בשעת התגבור - 1 שונה מאפס מתוך הגדרת השדה (עמוד 2 בחוברת)"

אז הקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה - חסר?

תשובה

לא, לא חסר. מכיוון שזה בתוך הגדרת השדה ואנו בודקים תת שדה. כלומר, ידוע לנו ש1 שונה מאפס כי מדובר בשדה. הקריטריון מוודא שאחד בתת-שדה, וכמו שהסברתי גם 0=1-1 בתת-שדה. זה שהם שונים זה ברור כי זה תת קבוצה של השדה ושם הם שונים, ואלו אותם פעולות.

מובן?

כן, תודה!

שאלה 4 במרוכבים

למה הצמוד של Z בחזקת $2n-1$ שווה ל-Z בחזקת $-2n-1$? זה לא אמור להיות בחזקת $-2n+1$? (שורה 4 בתרגיל 4)

תשובה

זו אשליה גראפית. החזקה לא משתנה בכלל מכיוון ש $\overline{z^2}=\overline{z\cdot z}=\overline{z}\cdot\overline{z}=(\overline{z})^2$ (וככה באינדוקציה לכל חזקה)

מה שנראה לך כמו מינוס הוא הגג של הצמוד.

פתרון מרוכבים

בשורה הראשונה (בעמ' הראשון) כתבתם בערך המוחלט של w שהוא שווה לשורש אחד ועוד שלוש. אבל הרי w הוא i מינוס שורש שלוש, אז הa של w זה i, וi בריבוע זה מינוס אחד.

תשובה

לא לא לא :) אחרת האורך של מספר היה יכול להיות שורש של מספר שלילי ולכן מרוכב. מה הוא האורך של i?

כאשר המספר המרוכב הוא z=a+bi החלק ממשי הוא a והחלקי הדמיוני הוא b. במקרה הזה $a=-\sqrt{3}$ ו$b=1$

שוב שאלה לגבי מרוכבים בבוחן

האם עלינו לדעת מאיפה מגיע הסימון $i$ במספר המרוכב (הסבר על ידי שימוש בעותק של $R$ בתוך $C$ כפי שאלי הראה לנו בכיתה)? תודה מראש.

תשובה

אני לא יודע מה בדיוק הוא הראה לכם בהרצאה. בגדול צריך לדעת את הדברים שרואים בהרצאה, אבל מכיוון שאני הייתי בין כותבי הבוחן ואני לא מבין למה אתה מתכוון, אני מניח שהתשובה היא שלבוחן הספציפי הזה לא צריך :)

מערכות שקולות?

הגדרה: שתי מערכות של משוואות לינאריות באותם הנעלמים נקראות שקולות אם למערכות יש אותה קבוצת פתרונות.

השאלה שלי: האם יכול להיות מצב של שתי מערכות של משוואות לינאריות שיש להן אותה קבוצת פתרונות אבל לא אותם הנעלמים? מה הכוונה אותם הנעלמים?

תודה.

תשובה

הרי מה זה אותם נעלמים? זה קצת חסר משמעות... הכוונה היא שתי מערכות עם אותו מספר נעלמים, כלומר מטריצות עם אותו מספר עמודות. שימו לב אבל שאם מספר המשוואות שונה המטריצות לא יהיו שקולות שורה.

הוכחה שקבוצה כלשהי עם פעולות היא שדה

האם צריך להוכיח גם שאין מחלקי אפס? תודה.

תשובה

צריך להוכיח בלבד את כל התכונות של שדה. אם אתה מוכיח שזה תת שדה אפשר להסתפק בקריטריון המקוצר. מתוך אלא נובע שאין מחלקי אפס, אין צורך להוכיח ישירות שאין מחלקי אפס.

דמיון מטריצות

האם נכון לור שאם מטריצה A דומה למטריצה B אז גם מתקיים שמטריצה B דומה למטריצה A? תודה רבה.

אני חושבת שכן כי זה יחס שקילות ויש בו סימטריות.

ענית יפה. קל לראות שזה נכון אם כופלים בP וP^-1 בשני הצדדים מקבלים נוסחא דומה רק עם B לבד. כלומר $B=PAP^{-1}$

ברור לי למה אם A דומה לB אז B דומה לA , אבל לא ברור לי מדוע היחס של הדומה בין המטריצות הוא יחס שקילות, אשמח אם מישהו יוכל לענות

לא אכתוב לך פה את כל ההוכחה, אבל בקשר לסימטריות: צ"ל A~B => B~A.

הוכחה: $=> A=P^{-1}BP => PA=PP^{-1}BP => PA=BP => PAP^{-1}=BPP^{-1} => PAP^{-1}=B$

נסמן $P=Q^{-1}$ ונקבל $B=Q^{-1}AQ$.

תשובה

אם אני מבין נכון את הבעייה: מדוע זה יחס שקילות? נסמן A~B אם A דומה לB. צ"ל:

• לכל מטריצה A מתקיים A~A
• אם A~B אז B~A
• אם A~B וB~C אזי A~C

ההוכחה לסימטריות כתובה מעליי. אז מה השאלה בעצם? למה שלושת הנקודות האלה נכונות או למה זה אומר שזה יחס שקילות?

הוכחה שכאשר $p$ לא ראשוני, $\mathbb{Z}_p$ הוא לא שדה

נניח בשלילה ש-$\mathbb{Z}_p$ שדה. $p$ לא ראשוני לכן נגדיר $p=k \dot m$ כאשר m,k טבעיים. לכן $k,m<p$ ואז $1<=k,m<=p-1$. מוגדר $k*m=(k \dot m)mod p$.

מכאן, במחברת יש לי הוכחה שכוללת $k*m*m^{-1}$ ואז יוצא $k=0$ (לאחר כמה וכמה שלבים).

האם ניתן להוכיח גם בדרך של: $k*m=(k \dot m)mod p=p mod p=0$ ואז קיבלנו שיש מחלקי 0, לכן זה לא שדה? תודה מראש.

• לא יצא לי הסימן של הכפול, הנקודה.

תשובה

ההוכחה עם השלבים היא בדיוק אותו דבר, פרט לעובדה שהיא מוכיחה למה אם יש מחלקי אפס זה אינו שדה. מספיק לומר שיש מחלקי אפס ולכן זה לא שדה, אלא אם נבקש להוכיח את זה.

שימוש ב"טריקים" במבחן ובבוחן

זה כנראה לא המקום הכי טוב לשאול את זה, אבל אם מותר להשתמש ב"טריקים" בבוחן? למשל, למצוא פתרון של מערכת כלשהי ע"י הכפלה משמאל במטריצה ההופכית למטריצת המקדמים (שאותה אפשר לחשב, לפעמים, בעל-פה או בעזרת נוסחאות שלא בהכרח למדנו בכיתה, כמו $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$), מבלי לפרט למה הכפלנו דווקא במטריצה הזו. תודה, אור שחף, שיחה, 17:39, 9 באוגוסט 2010 (IDT)

תשובה

אי אפשר מבלי לפרט. אם זו מטריצה 2 על 2 ניתן לומר שזו הנוסחא להופכית. וניתן לכפול בהופכית ולהגיד שככה אתה פותר, זה לגיטימי מאד.

תרגיל 6.37

האם (בשיעורי הבית ובבוחן) צריך להוכיח טענות (לדוגמה בא', שצריך להוכיח ש Ak~Bk) ממש בצמוד להגדרות להוכיח כל שלב, או שאפשר "להשתחרר קצת" ולהוכיח טענות בעזרת פעולות חשבון, בלי להוכיח שניתן לבצע כל שלב כפי שעשיתי אותו? אם השאלה לא מובנת, אסביר בדוגמה- בשאלה 6.37 א'- האם אפשר להוכיח את הטענה כך? -מכיוון שA שקול לB, ידוע ש A=p-1BP, ועכשיו נעלה את 2 האגפים בחזקת K, יוצא ש Ak=(p-1)k*Bk*pk ולכן Ak=((p-1)*p)k*Bk ולכן Ak=(p-1)p*Bk ולכן Ak=(p-1)*Bk*p? או שזו דרך שבה אני משתמש בהרבה פעולות שלא בטוח שניתן לבצע אותן, ולכן אני צריך להשתמש בדרך אחרת, יותר צמודה להגדרות? תודה.

תשובה

יש 2 דברים: 1. מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל. אם מבקשים להוכיח ש$A^k~B^k$ אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך בדיוק כמו שעשינו בכיתה. בבוחן או מבחן אם אתה לא בטוח כמה צריך לפרט אתה יכול לשאול.

2. אסור בתכלית האיסור לרשום דברים לא נכונים בתוך הוכחה, וההוכחה שרשמת למעלה פשוט לא נכונה. הרי אין חילופיות במטריצות ולכן $(P^{-1}BP)^k$ לא בהכרח שווה ל$P^{-k}B^kP^k$. איך השתמשת פה בחילופיות? ניקח דוגמא פשוטה:

$(abc)^2=abcabc$ אם חילופיות הייתה מתקיימת היה אפשר לשנות את סדר האיברים בכפל ולקבל $aabbcc=a^2b^2c^2$. כאשר אין חילופיות אסור לעשות את זה, כי אתה עלול להגיע לתוצאות לא נכונות. הרי לפי שיטת ההוכחה שלך $A=P^{-1}BP=P^{-1}PB=B$ ולמעשה מטריצות דומות הן בכלל שוות. אבל זה לא נכון.

סליחה לגבי ההוכחה הלא נכונה, לגמרי שכחתי שאין חילופיות במטריצות, התבלבלתי. אבל לגבי רמת הפירוט- אמרת שצריך לבדוק מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל- איך אני יודע מהי רמת הפירוט הנדרשת? למה אם צריך להוכיח שקילות אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך (האם כשצריך להוכיח משהו אחר, לא צריך להוכיח את כל השלבים בדרך?) ולמה במבחן מותר לפרט פחות? תודה רבה.

בנוסף, בכיתה אמרנו שצריך להוכיח את זה באינדוקציה, אך מותר גם להוכיח את זה פשוט ע"י הכפלת p-1BP קיי (K) פעמים? זה נראה לי חוקי (שימוש רק באסוציאטיביות).

תשובה

אין נוסחא כללית לרמת הפירוט. יש להפעיל הגיון ולשאול במקרים ספציפיים.

לשאלה לגבי האינדוקציה - אינדוקציה זו הדרך המתמטית להוכיח את זה. לפעמים בכיתה אנחנו מדלגים על אינדוקציות טריוויאליות מעין זו. לכתוב את זה k פעמים זה כמובן בלתי אפשרי, כי k הוא משתנה....

שאלה על הקובץ של המרוכבים

באיזה משפט מדובר בפתרון של שאלה 4?

כנראה שהמשפט אומר שלמשוואה ממעלה n (כאשר חייבים להיות כל החזקות של X, כלומר ax^n+bx^(n-1)+...=y) אז יש למשוואה n פתרונות מרוכבים. אני לא זוכר מתי ואם בכלל הוכחנו אותו, אבל כנראה שלא נצטרך להוכיח אותו במבחן..

תשובה

אתם צודקים שאני לא מסביר את עצמי שם היטב, עיקר השאלה מבחינתי היה להראות שאם z שורש של פולינום אזי גם הצמוד שלו שורש.

מי שמתעניין מעבר מוזמן להסתכל על תרגיל 3.9 בעמוד 6 (שגם ממנו צריך להסביר מעבר למה שאני רשמתי בתשובה - התשובה שלי לא הייתה מדוייקת). בכל אופן ההוכחה שהצמוד הוא גם שורש יכולה להופיע בבוחן, אבל הוכחה לגבי שורשי פולינומים לא.

שאלה נוספת בקשר לפתרון של 4

ניסיתי להבין למה לפי זה שהמשלים של מכפלה או סכום ששוה למכפלת משלימי הגורמים או המחברים ניתן להגיע לזה שהמספר המשלים של שורש של הפולינום בהכרח מקיים גם הוא את הפולינום. אשמח אם תוכל להסביר בצורה יותר ברורה למה דבר זה מתקיים.

שאלה 6.34

אני עושה את התרגילים מהתרגיל החדש כדי להתאמן לבוחן מחר - אני ממש לא יודע איך אפשר למצוא בעזרת ההופכי של A את הפתרון הכללי של המערכת? שמתי לב לשלושת האיקסים הראשונים (x1,x2,x3) המקדמים שלהם הם המקדים של המטריצה A. גם חישבתי את ההופכי של A. אפשר עזרה או רמז לֶמה צריך לעשות כדי למצוא את הפתרון הכללי של המערכת בעזרת ההופכי של A? תודה.

תשובה

מה הקשר שלמדנו בין פתרון מערכת משוואות וכפל מטריצות?

בכפל מטריצות כל איבר במכפלה שווה לשורה המתאימה מהמט' הראשונה כפול העמודה המתאימה מהמט' השנייה. באמת שאני לא יודע איך זה מתקשר למערכת משוואות (סליחה על בורוּת ושוב תודה מראש)

דירוג מטריצה שקול לכפל במטריצות אלמנטריות

איך מטריצות אלמנטריות קשורות לשאלה הזאת?

מה הקשר בין מטריצה הפיכה למטריצות אלמנטריות? (מומלץ לקרוא את המחברת...)

לקח לי הרבה זמן למצוא את זה, אבל מצאתי במחברת הערה שאומרת שאם A הפיכה אזי אפשר להפוך את A לI ע"י פעולות שורה אלמ'. אני עדיין לא מבין איך 2 האיקסים הנוספים (x4,x5) ואיך המטריצות האלמנטריות נכנסות לתמונה. אשמח לרמזים עבים יותר, במיוחד כי מחר הבוחן ואני משקיע את מירב המאמצים כדי להתכונן אליו. תודה רבה מראש.

כל מטריצה הפיכה היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות וכל פעולת דירוג היא כפל במטריצות אלמנטריות. רמז יותר עבה מזה הוא פתרון התרגיל. כמובן שאני לא יכול לפתור את התרגיל לפני שהגשתם אותו...

אני דדוקא בעד

מרוכבים בבוחן

שלום רב, האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו? תודה מראש.

תשובה

שמח ששאלת :)

אם תהיה שאלה כזו במבחן אתם צריכים לדעת מהי התנהגות הסינוס והקוסינוס (מחזור, שיאים, אפסים וכדומה).

תשובה לתשובה :)

ראשית, תודה על התשובה המהירה. ושנית, אני מניח שאנחנו נצטרך לדעת רק את הערכים הבסיסיים יותר, למשל לא יהיה צורך בלדעת מה ערך ה$\alpha$ במשהו כמו $cos(\alpha)=0.124$, נכון? והאם אתם מחיבים כתיבת זוויות ברדיאנים כפי שנכתב בתשובות או שגם מעלות זה בסדר? תודה שוב.

לא תצטרכו לדעת דברים מסובכים כאלה. וכן, מהרגע שנכנסתם בשער האוניברסיטה רק רדיאנים :)

הוכחה שיש איבר הופכי בשדה $Z_p$

ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם $a*b=a*c$ כאשר $a \neq 0$ אז $b=c$.

בשלב השני, אומרים שיש $p$ איברים שונים בקבוצה $A$ $a*0, a*1, a*2...a*(p-1)$ כאשר $a \neq 0$, וגם P איברים ב-$Z_p$, לכן כל האיברים ב-$Z_p$ נמצאים ב-$A$ כולל $1$. כלומר קיים $b$ ב-$Z_p$ כך ש-$a*b=1$.

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר $a^{-1}$ כך ש-$a*a^{-1}=1$. כלומר יש איבר הופכי ל-$a$.

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים $b$ כך ש-$a*b=1$, כלומר קיים איבר הופכי ל-$a$.

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

תשובה

שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה $Z_p$ כלשהו): יהי $a*b=a*c$ ומכאן ש - $b=c$. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח $a*b=a*c=1$, ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל $a*b=4=a*c$. במקרה זה אכן מתקיים ש-$b=c$ אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש: הוכחת ש-1 נמצא ב- $A$ ועפ"י הגדרת הקבוצה $A$ שנתת יתקיים ש: $a*p$ גם הוא איבר של $A$. יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-$Z_p$ איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- $Z_p$ מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p שאינו ראשוני).

מקווה שעזרתי, גל.

תשובה נוספת(ארז)

גל, אתה קצת מבלבל. זה נכון שהתכונה הראשונה נכונה בשדה. זה מתוך ההנחה שמדובר בשדה, אבל זה מה שצריך להוכיח ואסור להסתמך על כך בהוכחה.

התשובה המדויקת ללמה זה לא מספיק היא פשוטה - זה לא מה שצריך להוכיח. צריך להוכיח שלכל איבר a קיים איבר b כך ש ab=1. זה פשוט לא מה שהשורה הראשונה אומרת, ואני לא רואה איך אפשר להסיק את זה ממנה. (נכון שאם היה הופכי השורה הראשונה ברורה, אבל זו גרירה חד כיוונית).

לגבי השלב השני. ההנחה פה היא שהאיברים בA שונים זה מזה ולכן כל האיברים של $\mathbb{Z}_p$ מופיעים שם (בפרט 1). העובדה שהם שונים זה מזה נובעת ישירות משלב א'. בלי שלב א' היה יכול להיות שבA יש פחות מp איברים ולכן אולי אחד חסר שם.

תודה רבה!

שאלה

האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

תשובה

3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.