הבדלים בין גרסאות בדף "לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏שאלה)
(←‏שאלה)
שורה 287: שורה 287:
  
 
אפשר בבקשה עזרה בתרגיל 1 ב - יש לי כיוון מסוים לגבי מטריצת המעבר אבל אני לא מצליח ליישם אותו...
 
אפשר בבקשה עזרה בתרגיל 1 ב - יש לי כיוון מסוים לגבי מטריצת המעבר אבל אני לא מצליח ליישם אותו...
 +
 +
===תשובה===
 +
תנסה לרשום במפורש את מטריצת המעבר של הנפח של הפוליטופ מצד ימין ושל הפוליטופ מצד שמאל. בצד שמאל, השתמש בסעיף a. מה זו המטריצה שהתקבלה בצד שמאל? 
 +
זכור שעל מנת לזהות מטריצת מעבר או מטריצה של העתקה צריך להראות מה המטריצה עושה לוקטורי הבסיס (בדומה להוכחות שעשינו בסוף לינארית אחד לגבי מטריצות מעבר ומטריצות מייצגות העתקה).

גרסה מ־20:41, 6 בדצמבר 2009

\begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix}

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

ולכתוב מתחתיה את השאלה שלכם.

ארכיון

ארכיון 1 - שאלות על תרגילים 1-4

שאלות

שאלה חשובה לדוגמא

מה זה Span?

תשובה

אוסף כל הצירופים הלינאריים

--ארז שיינר 20:07, 22 באוקטובר 2009 (UTC)

הבנתי, תודה.
בשמחה
יותר קונסטרוקטיבי לחשוב על זה כ"המרחב הנפרש", התת-מרחב הקטן ביותר שמכיל את הקבוצה הנתונה.

שאלה לארז

האם קיימת אפשרות לשמור את כל התוכן של דף זה בדף אחר (שאלות ותשובות 1 - תרגילים 1-4, למשל..), ולמחוק את כל מה שיש כרגע פרט לשאלות שרלוונטיות לתרגיל ולחומר של השבוע, במטרה להקל על הצפייה והטעינה?

תשובה

כן, אני אעשה את זה. אני מבקש לא למחוק שום דבר שנרשם אף פעם משום סיבה, אלא אם אתם בעצמכם כתבתם את זה.

תרגיל 1.4

בסעיפים ב' וג' יש הפניה לשאלה 1.1, ואני לא ממש מצליחה למצוא ת'קשר... יש בעיה עם ההבנה שלי או עם הספר??

תשובה

הכוונה לשאלה 1.3 לשני הסעיפים

העתקתי את השאלה מהארכיון כיון שהיא קשורה לתרגיל של השבוע הזה.

תרגיל 1.9

האם שתי המכפלות הן אותן מכפלות? (בסעיף א'..) או שבג' מתעלמים מסעיף א'? כלומר הנתון היחיד שלי זה 2 התכונות בסעיף ב' ואני צריכה להוכיח שהמכפלה שמוגדרת בסעיף ג' היא למעשה לא מכפלה פנימית?

תשובה

בסעיף א' נאמר שכל מכפלה פנימית מקיימת את התכונה <v,u>=vAu^*. בסעיף ג', צריך להראות שיש מטריצות שעונות על התכונות בסעיף ב' אך עדיין אין מכפלה פנימית שיוצרת אותן כמו בסעיף א'. אם הייתה מכפלה כזו, אז היא הייתה מקיימת את השיוויון <v,u>=vAu^*, ולכן הפונקציה הזו הייתה אכן מכפלה פנימית.


שאלה

יש להביא דוגמא נגדית ב 1.5?


תשובה

יש להראות שאחד מחוקי המכפלה הפנימית לא מתקיים. אפשר לעשות את זה על ידי דוגמא נגדית לחוק שלא מתקיים בעזרת מספרים מרוכבים

שאלה

ארז - האם קיים חוק שאומר : לכל v שונה מאפס מתקיים ש: <v,v> גדול מאפס? (גדול ממש)

תשובה

כן, חוק אי שליליות אומר ש <v,v> \geq 0 ושיוויון מתקיים v=0 \iff. במילים אחרות, אם v\neq 0 אזי <v,v> > 0 ממש

שאלה

האם מותר לי להשתמש בשעורי הבית בכל המשפטים שנלמדו בהרצאה? (בהנחה שלא מבקשים להוכיח אותם)

תשובה

עקרונית כן, אבל זו שאלה דיי כללית

שאלה 4.12.0.5

האם מתכוונים בשאלה להוכחה רק לגבי המכפלה הפניימית הסטנדרטית או לכל מכפלה פנימית?

תשובה

המכפלה הפנימית הסטנדרטית, אבל שים לב שזו הסטנדרטית מעל \mathbb{C}, כלומר <(z_1,...,z_n),(w_1,...,w_n)> = z_1\overline{w_1}+...+z_n\overline{w_n}

בסדר אבל אני לא מתייחס כל כך בהוכחה שזה C כי זה נכון גם ל C וגם לr ההוכחה שלי
A^* = \overline{A^t}, איך אפשר לא להתייחס למרוכבים כשמדובר על הצמדה?

לארז - בקשר לשאלת הבונוס שנתת בכיתה

כל הדרך הביתה ישבתי על ההוכחה, אח"כ ישבתי כמעט כל הלילה בשביל הבונוס הזה. בסה"כ ישנתי קצת פחות מ-4 שעות. האם אתה יכול לומר לנו סוף סוף אם מישהו הצליח להוכיח, אם קבלת, ואם מישהו כבר קבלת את הבונוס?

תשובה

יש כבר פותרים, אני אפרסם את הפתרונות בקרוב, אני עוד עובר על הוכחות.

שאלה 5.7

ניסיתי לחלק ל-3 מקרים אבל לא ממש יצא לי.. אפשר איזשהו רמז?

תשובה

אילו מקרים? מה התנאי למרחב ניצב? תבדוק אותו מפורשות

שאלה

האם מותר בשאלה זו (5.7) להשלים את הקבוצה S לבסיס אורתונורמלי, לפי המשפט שאומר שכל קבוצה אורתונורמלית ניתנת להשלמה לבסיס אורתונורמלי?

תשובה

זה מותר ונכון אבל אין צורך בזה, התשובה פשוטה יותר. כמו שרשמתי למעלה, צריך לבדוק את התנאי לניצבות, וזו תשובה של שתי שורות.

בתגובה לתשובה

תודה רבה. לא הצלחתי לעלות על התשובה, אז ספקתי תשובה די ארוכה של עמוד שלם של הוכחה, למרות שהוכחה הייתה מאוד קלה.


שאלה - 5.10

האם קיימת סיבה לכך שההדרכה אומרת לבחור בסיס, ורק אח"כ לבצע גרם-שמידט? האם לא יכלנו לבחור מראש בסיס אורתונורמלי? דבר נוסף, רק לשם בדיקה: האם גם לכם ייצא שהמכפלה הפנימית: <v,w> שווה לאלפא-i בריבוע?

תשובה

אתה צודק אפשר לקחת ישר בסיס אורתונורמלי, אבל חשוב מאד לקחת בסיס לU ולהשלים אותו להיות בסיס למרחב כולו.

שאלה 5.14

איך מוצאים בסיס ומימד למרחב הניצב רק ע"י span של המרחב?

תשובה

אם וקטור הוא אורתוגונלי לבסיס של הspan, מה המכפלה הפנימית שלו עם שאר איברי הspan?

ושאלה נוספת, למה שווה הסכום W+W^\perp?

--ארז שיינר 19:45, 26 בנובמבר 2009 (UTC)

אני יכולה בעצם לומר: כדי שוקטור יהיה בW+, הוא צריך לקיים שהמכפלה הפנימית שלו עם 2 הוקטורים הנתונים הם 0.. ואז להגדיר V =(x,y,z) ולמצוא לאיזה ערכים של x,y,z שמובעים לדוגמה באמצעות Z זה מתקיים? ומשם גם להוציא את הבסיס..?
כן. וההסבר לכך הוא מה שרשמתי למעלה (זה לגבי מציאת הבסיס, ולא לגבי המימד. את המימד ניתן לומר מיד).

שאלת בונוס

לגבי ההוכחה הראשונה שניתנה.. למה מותר להניח שבפולינום האופייני של A^2 - המעלה הגבוהה ביותר של (x-alpha)לע"ע alpha כלשהו היא 1?

תשובה

A^2 לכסינה. לפי התיקון השני לתרגיל, הפולינום האופייני שלה מכיל גורמים לינאריים בלבד. (אחרת היה בלוק ז'ורדן בגודל גדול מ1 ואז צורת הז'ורדן לא הייתה אלכסונית).

נכון, אבל למה זה אומר שלא יכול להיות (x-alpha)^3 למשל..? זה מתפרק ל(x-alpha)(x-alpha)(x-alpha(
עשיתי שני בלבולים:
  • מדובר על הפולינום המינימלי ולא האופייני של A^2
  • התיקון השני אמר שהחזקה של הגורמים הלינאריים בפולינום המינימלי חייבת להיות אחד. הסיבה לפי צורת ז'ורדן היא כפי שרשמתי למעלה, כי גודל הבלוק המקסימלי הוא בגודל חזקת הגורם הלינארי בפולינום המינימלי.

אי שיוויון בסל

ניסיתי להוכיח בבית ששיוויון מתקיים אם ורק אם v שייך לspan{v1,..vk} אבל הצלחתי להוכיח רק את הכיוון <==. אפשר רעיון לכיוון השני?

תשובה

ההוכחה צריך להיות דו כיוונית בעיקרון. משלימים את הקבוצה האורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי, ואז לכל וקטור יש הצגה יחידה לפי הבסיס הזה. מפרקים את המכפלות הפנימיות של הוקטור לפי חוקי הלינאריות ומקבלים את תנאי שיוויון פרסבל (זה השיוויון באי שיוויון בסל). 

בנוגע לתרגיל הנוסף

בתרגיל הנוסף יש כמות נכבדת של אינטגרלים שצריך לחשב. האם מותר לבצע את תהליך האינטגרצייה במחשבון, מבלי לנמק? וזה רק אני, או שהוקטורים שמתקבלים ממש לא יפים?

זה אשכרה התעללות, הוקטורים שיוצאים אחרי הג"ש ממש, ממש לא נוחים לחישוב..
חישוב במחשבון הוא בסדר, המטרה היא לא לראות שאתם יודעים אינטגרלים (אפשר לעשות חישוב שניים והשאר במחשבון). דבר שני, היה צריך לזכור שכל החזקות האי זוגיות אוטומטית נמחקות, ושלישית למדנו בגרם שמידט שאפשר לשמור על מספרים יפים ורק בסוף לחלק בנורמה. לכן אין צורך להסחב עם מספרים לא יפים, הכי הרבה לרשום חלקי נורמה, ורק בתשובה הסופית להציב אותה.

שאלה

איך אפשר להוכיח ש2 הוא החסם מילרע הגדול ביותר של הקבוצה {2x^2} כאשר x>1??

תשובה

כבר אני יכול לראות מהשאלה ששכחת שהנורמה היא שורש המכפלה הפנימית של הוקטור בעצמו, כלומר ||v||= \sqrt{<v,v>}.

שנית, אין צורך בהוכחה מלאה באינפי, אלא הסבר יספק (למצוא את המרחק עבור x=1, ולהסביר שעם x מתקרב ל1 אזי המרחק של הוקטור מתקרב למרחק עבור x=1)

שאלה 2 תרגיל 7

הכוונה לנפח של הפוליטופ, לא לפוליטופ עצמו, כן? | (אדם אחר): מצטרף לשאלה, הרי שבתרגול עשינו את התרגיל על בדיוק אותו רעיון ושם היה נפח, ואיך אפשר לחשב פוליטופ? זה רק קבוצה אז אין פה תרגיל (אם זה לא נפח)... לכן זה חייב להיות נפח.

תשובה

קודם כל, פוליטופ אינו נפח. יש הגדרה לפוליטופ:

P(v_1,...,v_n)=\{\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n | 0 \leq \alpha_1,...,\alpha_n \leq 1\}

זה קבוצה של וקטורים (אמנם לא תת מרחב). נפח הוא מספר.

שנית, אתם צודקים, יש טעות בתרגיל. זה צריך להיות נפח. אני אפרסם תיקון.


שאלה: פוליטופ הוא קבוצה של וקטורים, זאת אומרת שאם X שייך לפוליטופ הנ"ל מלמעלה אז ניתן להציגו כצירוף לינארי של הוקטורים v1....vn עם סקלרים בין 0 ל-1? זאת אומרת X=a1v1+.....anvn ? ופוליטופ זה קבוצה, אז איך בתרגיל 1 a יש העתקה לינארית של קבוצה?

קודם כל כן, זה נובע ישירות מההגדרה של פוליטופ שציינתי למעלה.

שנית, זו לא העתקה לינראית מהקבוצה. זו העתקה לינארית מהמרחב שמכיל את הקבוצה. עכשיו אפשר להסתכל על הקבוצה של הוקטורים שמתקבלים ע"י הפעלת ההעתקה הלינארית על הפוליטופ. כלומר לקבוצה כללית S \subset V והעתקה לינארית T:V\rightarrow W נגדיר את T(S)=\{Ts \in W|s \in S\}

שאלה

ארז שלום, בתרגיל שעשית בכיתה, חישבת נפח פוליטופ בעזרת מטריצת מעבר, והבסיס שלפיו הצגת את הווקטורים הנתונים היה הבסיס הסטנדרטי. האם זה מותר בגלל שהבסיס הסטנדרטי הוא בא"נ? ואם כן, למה נועד תהליך גרם שמידט, למה אי אפשר פשוט תמיד לקחת את הבסיס הסטנדרטי בתור הבא"נ שלפיו אנו פועלים? תודה.


תשובה

כן, היה מותר כי הבסיס הסטנדרטי הינו בא"נ.

הבסיס הסטדנדרטי הוא בא"נ למרחבים המוכרים. אבל לתתי מרחבים אין בדר"כ בסיסים סטנדרטיים, ולשם כך צריך את תהליך גרם שמידט. למשל אם תיקח את המרחב הנפרש ע"י \{(1,1,0),(-1,0,1)\}. אין לו בסיס סטנדרטי. איך תחשב מרחק של וקטורים מתת מרחב זה?

שאלה

איך אני אמור לדעת מה המספר הרציונלי הקרוב ביותר ל-שורש 2?? קשור לשאלה מס' 3 סעיף ב

תשובה

בעזרת כוח המחשבה :) זה אמנם לא קורס אינפי, אבל זו שאלה שאתם יכולים לענות עליה.

מספר שאלות די בסיסיות בנושאים שונים

1. האם המכפלה הפנימית הסטנדרטית היא מכפלה רגילה של סקלרים, או השורש של מכפלת הסקלרים (בדומה לנורמה המושרית), כלומר האם: <(1,2),(3,7)> יהיה שווה ל- 17, או לשורש של 17?

2. בתרגיל 1.a יצאה לי הוכחה די קצרה, של חצי עמוד שהשתמשה רק בהגדרת הפוליטופ (כלומר בטאתי את הקבוצה שנוצרת אם מפעילים עליה את ההעתקה, ולכן הסקלרים נשארים אותם סקלרים ורק הוקטורים עלולים להשתנות). האם זה בסדר?

3. כדי לחשב הטלה יש להשתמש בבסיס אורתונורמלי כלשהו, נכון? אבל בכיתה כשחישבת איתנו את הנפח של שלושה וקטורים לפי ההגדרה באינדוקציה רק נרמלנו את הוקטורים כדי לחשב את ההטלה. עכשיו אני מבולבל ולא יודע איך נכון לפתור את תרגיל 2.a.

תודה רבה!!


1. יהיה שווה 3+14

2. ההוכחה די קצרה בעזרת הכלה דו כיוונית.

3. אם יש לך בסיס לא אורתונורמלי עליך לנרמל אותו ואז לחשב את ההטלה.

תשובה

התשובות שענו לך נכונות פרט ל3. בכיתה לא נרמלנו את הוקטורים בלבד אלא ביצענו תהליך גרם שמידט מלא. את הוקטור הראשון נרמלנו בלבד, כי ככה עובד תהליך גרם שמידט. בכיתה נתתי נוסחא להטלה על מרחב לפי בא"נ, ולכן יש לבצע תהליך גרם שמידט על מנת שיהיה בא"נ. (לא מספיק רק לנרמל את הבסיס, צריך להפוך אותו לאורתונורמלי)

אז בעצם בשביל לחשב את ההטלות צריך לבצע תהליך גרם שמידט על ארבעת הוקטורים בתרגיל 2?
כן, כפי שעשינו בשיעור. שים לב שלא בכל הטלה צריך את 4 הוקטורים. כל פעם מטילים וקטור אחד על קודמיו. את המרחק צריך לחשב בין הוקטור הנתון לבין התת מרחב הנפרש ע"י קודמיו. את הבסיס של התת מרחב הזה אפשר להחליף לבא"נ בעזרת תהליך גרם שמידט

מישהו אחר- למה צריך הכלה דו כיוונית ולא פשוט שוויון ב2 a?

מתכוון 1 a? צריך להוכיח שיוויון, כל דרך מתמטית נכונה מתקבלת. הכלה דו כיוונית זו דרך נוחה

שאלות :)

1. בשאלה 3 סעיפים א ו-ב צריך לעשות באמצעות הראש?! או להציב בנוסחא או משהו כזה , אי אפשר פשוט להגיד מתי המרחק מינימלי?

בנוסף לכך נגיד בא' כשהמרחק 2 הוא לא נמצא בקבוצת המרחקים הוא רק שואף ל2

2. בשאלה 2 a צריך להפוך את הווקטורים בקבוצה לאורתונורמליים כדי לחשב את ההיטל?

3. אני מסתבך עם 1b אפשר עזרה?

תשובה

1. צריך לרשום מה המרחק בין הוקטור הנתון לוקטור כללי בקבוצה, ואז להסביר מה יהיה החסם התחתון של המרחקים הנ"ל. המרחק לא צריך להיות בקבוצת המרחקים, הוא החסם התחתון שלה. וכפי שלמדתם באינפי, חסם תחתון לא חייב להיות בקבוצה. בנוסף אני ממליץ להסתכל על שאלה שכבר שאלו לגבי השאלה הזו, ולהזכר מה היא הגדרת הנורמה.

2. כן, לפי הנוסחא בכיתה צריך בא"נ כדי לחשב היטל ומכך מרחק.

3. תחשוב על הדרכים השונות לחשב נפח, אחת מהם תעזור לך להוכיח. צריך להזכר בסוף של לינארית 1 גם.

שאלה

המספר הרציונאלי שקרוב ביותר לשורש 2 הוא 1.4?

מה לגבי 1.41? לא קרוב יותר? ואין מספר יותר קרוב מזה?
אז אני לא מבין איך אפשר למצוא אותו זה יכול להיות גם 1.414 וכו' , לא?! אני לא מבין איך אפשר להגיע אליו
המרחק המינימלי לא מתקבל. המרחק מוגדר כחסם התחתון של כל המרחקים המתקבלים. בדיוק לפי הגדרת חסם תחתון באינפי. d(v,W)=inf\{d(v,w)|w \in W\}

שאלה בקשר למטריצת גראם

למה |Gb| = |Gc| כאשר b,c שניהם בסיסים של V?

תשובה

זה לא נכון, מי אמר את זה?

קח בסיס אחד, תכפיל וקטור אחד שלו ב3 ותקבל בסיס שני. הדטרמיננטה של מטריצת גרם של הבסיס השני תהיה פי 9 מהדטרמיננטה של הבסיס הראשון.

אוקי. אז זה נכון אולי עבור B וB' אחרי שעשינו לו גראם שמידט?
לא. מטריצה גרהם של בא"נ היא תמיד I והדטרמיננטה שלה תמיד 1. הדטרמיננטה של מטריצת גרהם של בסיס כללי יכולה להיות שונה מאחד
בהוכחה לגבי מרחקים בהרצאה של צבאן שרצינו למצוא את הקשר למטריצת גראם, הייתה טענה ש|Gb| = |Gb'| כאשר b' הוא לאחר ביצוע תהליך גראם שמידט בלי נירמול.
זה כבר נשמע הגיוני. הרי מותר במטריצה להוסיף לשורה מסוימת שורה אחרת כפול סקלר (כנ"ל לגבי עמודות) והדטרמיננטה תשאר אותו דבר. תהליך גרם שמידט מוסיף לכל וקטור צירוף לינארית של הוקטורים הקודמים. ולכן אם תבצע את ההתליך על מטריצת הגרהם (קודם לשורות, אחר כך לעמודות), לפי לינאריות המכפלה הפנימית, תקבל את מטריצת הגרהם של הבסיס לאחר גרם שמידט ללא נרמול. ולכן הדטרמיננטה תהיה זהה.

שאלה

לא הבנתי מה הכוונה בשאלה 4. צריך למצוא את ערכם של המקדמים \alpha _{1},...,\alpha _{n} שתקיים שלכל מט' A מגודל n זה יתקיים? איך זה יכול להיות? או שצריך לתת דוגמא לA ואז למצוא את הפוליטופ כך שזה מתקיים? תוזה רבה על העזרה.


תשובה

נתונה מטריצה A ריבועית כלשהי. עכשיו צריך למצוא וקטורים v_1,...,v_n כך שיתקיים vol(P(v_1,...,v_n))=|detA|.


שאלה

נניח B בסיס כלשהו לW. ניקח וקטור v שלא נמצא בW. אזי {v1,..,vk,v} (נקרא לקבוצה זו B') כמובן בת"ל אך קבוצה זו אינה בסיס, נכון? אני יכולה להציג את גראם שמיט לפי B'? זה מוגדר בכלל? כי השתמשנו בזה באחת ההרצאות.

תשובה

היא בסיס, למרחב span(B')=W+span\{v\}. ואת מתכוונת למטריצת גרהם של B' לא גראם שמידט.

מטריצת גרהם מוגדרת לכל קבוצה של וקטורים, פשוט היא מעניינת יותר כאשר הוקטורים בת"ל.

חשוב לזכור שקבוצה בת"ל היא תמיד בסיס למרחב שהיא פורסת (הspan שלה).

שאלה

ארז,אנחנו רוצים אותך בתור המרצה שלנו!!!!!!

שאלה

אפשר בבקשה עזרה בתרגיל 1 ב - יש לי כיוון מסוים לגבי מטריצת המעבר אבל אני לא מצליח ליישם אותו...

תשובה

תנסה לרשום במפורש את מטריצת המעבר של הנפח של הפוליטופ מצד ימין ושל הפוליטופ מצד שמאל. בצד שמאל, השתמש בסעיף a. מה זו המטריצה שהתקבלה בצד שמאל?  זכור שעל מנת לזהות מטריצת מעבר או מטריצה של העתקה צריך להראות מה המטריצה עושה לוקטורי הבסיס (בדומה להוכחות שעשינו בסוף לינארית אחד לגבי מטריצות מעבר ומטריצות מייצגות העתקה).

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=לינארית_2_לתיכוניסטים_תש%22ע&oldid=692