אומרים כי A מטריצה '''לכסינה''' אם היא [[דמיון בין מטריצות|דומה]] למטריצה אלכסונית
'''משפט.'''
תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית. A לכסינה אם ורק אם קיים בסיס B למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> כך שכל הוקטורים בבסיס B הינם וקטורים עצמיים של המטריצה A.
'''הוכחה.'''
ראשית, נניח כי המטריצה A לכסינה. לכן קיימת מטריצה אלכסונית D וקיימת מטריצה הפיכה P כך שמתקיים:
::<math>D=P^{-1}AP</math>
נכפול משמאל במטריצה P לקבל
::<math>PD=AP</math>
נסמן את עמודות המטריצה P ב<math>C_1,...,C_n</math> ואת איברי האלכסון של D ב<math>d_1,...,d_n\in\mathbb{F}</math>.
לפי שיטת '''כפל עמודה עמודה''' אנו שמים לב כי השיוויון
::<math>PD=AP</math>
שקול לכך שלכל i מתקיים
::<math>AC_i=d_iC_i</math>
ולכן עמודות P מהוות ו"ע של המטריצה A (כמובן ש <math>C_i\neq 0</math> כיוון שP הפיכה).
בנוסף, כיוון שP הפיכה, עמודותיה מהוות בסיס למרחב <math>\mathbb{F}^n</math>.
סה"כ נגיד את B להיות אוסף עמודות P וסיימנו.
בכיוון ההפוך, נניח שיש לנו בסיס כזה B, נשים את איבריו בעמודות מטריצה P. קל לראות כי מתקיים
::<math>PD=AP</math>
כאשר P הפיכה. לכן נכפול בהופכית לקבל
::<math>D=P^{-1}AP</math>
כלומר A לכסינה.
==דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות==