מבחן השורש של קושי

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים

יהי \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n טור חיובי. אזי:

אם \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1 הטור מתבדר
אם \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1 הטור מתכנס
אם \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1 לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.

הוכחה

נניח כי \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d>1 . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:

\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d

לכן החל ממקום מסוים בסדרה, \sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\dfrac{d+1}{2}>1 .

לכן a_{n_k}>\left(\dfrac{d+1}{2}\right)^{n_k}

לכן \lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}=\infty

לכן בפרט a_n\not\to0

ולכן הטור מתבדר.


כעת, נניח כי \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d<1 .

לכן החל ממקום מסוים בסדרה, \sqrt[n]{a_n}<\dfrac{1+d}{2}<1

לכן a_n<\left(\dfrac{1+d}{2}\right)^n

אבל \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\right)^n הוא טור הנדסי מתכנס

לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.


הטורים \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ל-1.