הבדלים בין גרסאות בדף "מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון== ===מבחן ההשוואה הראשון=== יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהי נק' <ma...")
 
שורה 21: שורה 21:
  
 
<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x dx </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
 
<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x dx </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
 +
 +
===מבחן ההשוואה הגבולי===
 +
 +
יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x), g(x)</math> כך ש:
 +
<math>\forall_{x>=a}:f(x),g(x)>0</math>
 +
 +
יהי הגבול:
 +
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>
 +
 +
'''אזי:'''
 +
 +
אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\int_a^\infty g(x)dx</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").
 +
 +
אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\int_a^\infty f(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס.
 +
 +
אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס.

גרסה מ־08:43, 11 במאי 2013

אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון

מבחן ההשוואה הראשון

יהי a \in \mathbb{R} , ותהי נק' c\geq a כך שמתקיים \forall_{x\geq c} : g(x)\geq f(x)\geq 0 .

אזי מתקיים:

\int_a^{\infty} g(x)dx מתכנס \int_a^{\infty} f(x)dx \Leftarrow מתכנס

\int_a^{\infty} f(x)dx מתבדר \int_a^{\infty} g(x)dx \Leftarrow מתבדר

דוגמא.

קבע האם \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} dx מתכנס או מתבדר

פתרון. נשים לב כי \arctan(x) היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:

\forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 ולכן \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0

\int_1^\infty \frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x dx מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי

יהי a \in \mathbb{R} , ותהיינה שתי פונקציות f(x), g(x) כך ש: \forall_{x>=a}:f(x),g(x)>0

יהי הגבול: \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L

אזי:

אם L>0 , L\in\mathbb{R} אז \int_a^\infty f(x)dx ו- \int_a^\infty g(x)dx מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").

אם L=0 אז \int_a^\infty g(x)dx מתכנס \int_a^\infty f(x)dx \Leftarrow מתכנס.

אם L=\infty אז \int_a^\infty f(x)dx מתכנס \int_a^\infty g(x)dx \Leftarrow מתכנס.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מבחני_התכנסות_לאינטגרלים_לא_אמיתיים&oldid=34033