מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים

אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון

מבחן ההשוואה הראשון

יהי $a \in \mathbb{R}$, ותהי נק' $c\geq a$ כך שמתקיים $\forall_{x\geq c} : g(x)\geq f(x)\geq 0$.

אזי מתקיים:

$\int_a^{\infty} g(x)dx$ מתכנס $\int_a^{\infty} f(x)dx \Leftarrow$ מתכנס

$\int_a^{\infty} f(x)dx$ מתבדר $\int_a^{\infty} g(x)dx \Leftarrow$ מתבדר

דוגמא.

קבע האם $\int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} dx$ מתכנס או מתבדר

פתרון. נשים לב כי $\arctan(x)$ היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:

$\forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0$ ולכן $\forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0$

$\int_1^\infty \frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x dx$ מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.