מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים

אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון

מבחן ההשוואה הראשון

יהי $a \in \mathbb{R}$, ותהי נק' $c\geq a$ כך שמתקיים $\forall_{x\geq c} : g(x)\geq f(x)\geq 0$.

אזי מתקיים:

$\int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x$ מתכנס $\int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow$ מתכנס

$\int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x$ מתבדר $\int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow$ מתבדר

דוגמא.

קבע האם $\int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} \mathrm{d}x$ מתכנס או מתבדר

פתרון. נשים לב כי $\arctan(x)$ היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:

$\forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0$ ולכן $\forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0$

$\int_1^\infty \frac{\pi}{4x}\mathrm{d}x= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x \mathrm{d}x$ מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי

יהי $a \in \mathbb{R}$, ותהיינה שתי פונקציות $f(x), g(x)$ כך ש: $\forall_{x>=a}:f(x),g(x)>0$

יהי הגבול: $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L$

אזי:

אם $L>0 , L\in\mathbb{R}$ אז $\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x$ ו- $\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x$ מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").

אם $L=0$ אז $\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x$ מתכנס $\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow$ מתכנס.

אם $L=\infty$ אז $\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x$ מתכנס $\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow$ מתכנס.