הבדלים בין גרסאות בדף "מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏הרצאה 1 הקדמה)
(←‏הרצאה 1 הקדמה)
שורה 7: שורה 7:
  
  
−
*נפילה חופשית.
+
===נפילה חופשית===
−
**גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה <math>g=9.82</math>.
+
*גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה <math>g=9.82</math>.
−
**נסמן ב<math>y(t)</math> את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
+
*נסמן ב<math>y(t)</math> את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
−
**<math>v(t)=y'(t)</math> היא המהירות
+
*<math>v(t)=y'(t)</math> היא המהירות
−
**<math>a(t)=v'(t)=y''(t)</math> היא התאוצה.
+
*<math>a(t)=v'(t)=y''(t)</math> היא התאוצה.
−
**לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה <math>a(t)=g</math>, הרי התאוצה קבועה.
+
*לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה <math>a(t)=g</math>, הרי התאוצה קבועה.
−
**<math>y''(t)=g</math>
+
 
−
**לכן <math>y'(t)=gt+c_1</math>
+
 
−
**לכן <math>y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2</math>
+
*<math>y''(t)=g</math>
 +
*לכן <math>y'(t)=gt+c_1</math>
 +
*לכן <math>y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2</math>
 +
 
 +
 
 
*כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
 
*כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
−
**נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן <math>y(0)=0</math> ולכן <math>c_2=0</math>
+
*נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן <math>y(0)=0</math> ולכן <math>c_2=0</math>
−
**נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן <math>y'(0)=0</math> ולכן גם <math>c_2=0</math>.
+
*נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן <math>y'(0)=0</math> ולכן גם <math>c_2=0</math>.
  
  
−
*ריבית דריבית.
+
===ריבית דריבית===
 
*נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה <math>y(t)</math>.
 
*נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה <math>y(t)</math>.
 
*נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי <math>y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0)</math>.
 
*נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי <math>y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0)</math>.
שורה 35: שורה 39:
 
*אם נשאיף <math>t_2\to t_1</math> נקבל כי <math>y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1)</math>
 
*אם נשאיף <math>t_2\to t_1</math> נקבל כי <math>y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1)</math>
 
*כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית <math>y'=r\cdot y</math> כאשר <math>r</math> היא הריבית השנתית.
 
*כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית <math>y'=r\cdot y</math> כאשר <math>r</math> היא הריבית השנתית.
 +
 +
 +
===המשוואה <math>y'=r\cdot y</math>===
 +
 +
*בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
 +
*מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
 +
*כעת נשים לב כי:
 +
*<math>y'-ry=0</math>
 +
*<math>e^{-rt}(y'-ry)=0</math>
 +
*<math>(e^{-rt}y)'=0</math>
 +
*כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה <math>e^{-rt}y=C</math>
 +
*סה"כ <math>y=Ce^{rt}</math>
 +
 +
 +
*על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.

גרסה מ־11:45, 4 במרץ 2018

הרצאה 1 הקדמה

  • משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
  • בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה f'(x)=0. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
  • לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
  • כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.


נפילה חופשית

  • גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה g=9.82.
  • נסמן בy(t) את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
  • v(t)=y'(t) היא המהירות
  • a(t)=v'(t)=y''(t) היא התאוצה.
  • לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה a(t)=g, הרי התאוצה קבועה.


  • y''(t)=g
  • לכן y'(t)=gt+c_1
  • לכן y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2


  • כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
  • נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן y(0)=0 ולכן c_2=0
  • נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן y'(0)=0 ולכן גם c_2=0.


ריבית דריבית

  • נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה y(t).
  • נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0).
  • אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
    • בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית y(\frac{1}{2})=y(0)+\frac{1}{2}\cdot 0.02\cdot y(0)
    • ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל y(1)=y(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\cdot 0.02 \cdot y(\frac{1}{2})
    • סה"כ y(1)=(1.01)^2\cdot y(0)
  • זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
  • האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
  • כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
    • y(t_2)=y(t_1)+(t_2-t_1)\cdot 0.02 \cdot y(t_1)
    • נעביר אגף ונחלק \frac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_2}=0.02\cdot y(t_1)
  • אם נשאיף t_2\to t_1 נקבל כי y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1)
  • כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית y'=r\cdot y כאשר r היא הריבית השנתית.


המשוואה y'=r\cdot y

  • בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
  • מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
  • כעת נשים לב כי:
  • y'-ry=0
  • e^{-rt}(y'-ry)=0
  • (e^{-rt}y)'=0
  • כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה e^{-rt}y=C
  • סה"כ y=Ce^{rt}


  • על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מד%22ר_-_משוואות_דיפרנציאליות_רגילות_-_ארז_שיינר&oldid=75093