הבדלים בין גרסאות בדף "מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר"

גרסה מ־12:06, 4 במרץ 2018

תוכן עניינים

1 הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה

הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה

משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה $f'(x)=0$ . האם זו משוואה דיפרנציאלית?
לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.

נפילה חופשית

גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה $g=9.82$ .
נסמן ב $y(t)$ את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
$v(t)=y'(t)$ היא המהירות
$a(t)=v'(t)=y''(t)$ היא התאוצה.
לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה $a(t)=g$ , הרי התאוצה קבועה.

$y''(t)=g$
לכן $y'(t)=gt+c_1$
לכן $y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2$

כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן $y(0)=0$ ולכן $c_2=0$
נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן $y'(0)=0$ ולכן גם $c_2=0$ .

ריבית דריבית

נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה $y(t)$ .
נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי $y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0)$ .
אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית $y(\frac{1}{2})=y(0)+\frac{1}{2}\cdot 0.02\cdot y(0)$
- ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל $y(1)=y(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\cdot 0.02 \cdot y(\frac{1}{2})$
- סה"כ $y(1)=(1.01)^2\cdot y(0)$
זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
- $y(t_2)=y(t_1)+(t_2-t_1)\cdot 0.02 \cdot y(t_1)$
- נעביר אגף ונחלק $\frac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_2}=0.02\cdot y(t_1)$
אם נשאיף $t_2\to t_1$ נקבל כי $y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1)$
כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית $y'=r\cdot y$ כאשר $r$ היא הריבית השנתית.

המשוואה $y'=r\cdot y$

בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
כעת נשים לב כי:
$y'-ry=0$
$e^{-rt}(y'-ry)=0$
$(e^{-rt}y)'=0$
כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה $e^{-rt}y=C$
סה"כ $y=Ce^{rt}$

על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.

סדר ומעלה

משוואה דיפרנציאלית נקראת מסדר n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
- המשוואה $y''=g$ היא משוואה מסדר שני.
- המשוואה $y'=ry$ היא משוואה מסדר ראשון.
משוואה דיפרנציאלית נקראת ממעלה n אם הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר היא ממעלה n.
- המשוואה $(y''')^2+(y')^5=y+sin(t)$ היא מסדר 3 ומעלה 2.

משוואות פרידות

משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה $y'=f(y)g(x)$ .
נהוג גם להחליף $y'=\frac{dy}{dx}$ ולכן המשוואה תרשם כך $dy=f(y)g(x)dx$ .
לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה $f(y)g(x)dy +h(y)r(x)dx=0$ , כלומר $y'=-\frac{h(y)r(x)}{f(y)g(x)}$ .

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-==הרצאה 1 הקדמה==
+==הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה==
 *משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
@@ שורה 54: / שורה 54: @@
 *על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
 *שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון '''יחיד'''.
+===סדר ומעלה===
+*משוואה דיפרנציאלית נקראת '''מסדר''' n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
+**המשוואה <math>y''=g</math> היא משוואה מסדר שני.
+**המשוואה <math>y'=ry</math> היא משוואה מסדר ראשון.
+*משוואה דיפרנציאלית נקראת '''ממעלה''' n אם הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר היא ממעלה n.
+**המשוואה <math>(y''')^2+(y')^5=y+sin(t)</math> היא מסדר 3 ומעלה 2.
+===משוואות פרידות===
+*משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה <math>y'=f(y)g(x)</math>.
+*נהוג גם להחליף <math>y'=\frac{dy}{dx}</math> ולכן המשוואה תרשם כך <math>dy=f(y)g(x)dx</math>.
+*לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה <math>f(y)g(x)dy +h(y)r(x)dx=0</math>, כלומר <math>y'=-\frac{h(y)r(x)}{f(y)g(x)}</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר"

גרסה מ־12:06, 4 במרץ 2018

תוכן עניינים

הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה

נפילה חופשית

ריבית דריבית

המשוואה $y'=r\cdot y$

סדר ומעלה

משוואות פרידות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים